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Une somme qui m'embête

Posté par
manu_du_40 16-09-06 à 23:23

Bonjour à tous

J'aurais besoin de votre aide sur la somme suivante (attention il y a des complexes) :

A_n(x)=\sum_{k=1}^n cos^k(x)\hspace{5}cos(kx)

B_n(x)=\sum_{k=1}^n cos^k(x)\hspace{5}sin(kx)

C_n(x)=\sum_{k=1}^n A_n(x)+iB_n(x).

a) Calculer C_n(x). En déduire la valeur de A_n(x) en fonction de n et de x.

Bon après avoir remplacé A_n(x) et B_n(x) dans C_n(x), appliqué la formule de Moivre et quelques calculs simples,  on finit par tomber sur

C_n(x)=\sum_{k=1}^n(cos(x)\hspace{5}e^{ix})^k.

Je suis bloqué ici. J'aimerais pouvoir factoriser avec l'angle moitié afin d'utiliser les formules d'Euler mais le "cos (x)" me gène et je bataille depuis ce matin pour le faire disparaître....sans succès.

Merci d'avance

Manu

Il s'agit donc d'une suite géométrique de 1er terme (cos(x)\hspace{5}e^{ix}) et de même raison.

Ainsi C_n(x)=cos(x)\hspace{5}e^{ix}\frac{1-(cos(x)\hspace{5}e^{ix})^n}{1-cos(x)\hspace{5}e^{ix}}

Posté par
manu_du_40re : Une somme qui m'embête 16-09-06 à 23:26

Ouh là. Il va falloir remettre les phrases dans l'ordre :

Citation :
Il s'agit donc d'une suite géométrique de 1er terme  cos(x)\hspace{5}e^{ix}  et de même raison. Ainsi ...


doit se lire avant la phrase
Citation :
Je suis bloqué ici. J'aimerais pouvoir factoriser avec l'angle moitié afin d'utiliser les formules d'Euler mais le "cos (x)" me gène et je bataille depuis ce matin pour le faire disparaître....sans succès.


Manu

Posté par
raymond Correcteurre : Une somme qui m'embête 16-09-06 à 23:43

Bonsoir.
Je pense que dans ton énoncé, il n'y a pas de dans la définition de Cn. Si c'est ainsi je trouve le même résultat que toi.
Cependant, il faut supposer que x k.
Je te propose de multiplier numérateur et dénominateur par 1 - e-ixcosx.
Cordialement RR.

Posté par
manu_du_40re : Une somme qui m'embête 16-09-06 à 23:51

Oui exact raymond.
J'ai mis un sigma de trop dans l'expression de Cn. Décidément, je n'aurai fait que des bêtises ce soir. Je tente ta méthode et je te dis ce que je trouve.

Manu

Posté par
manu_du_40re : Une somme qui m'embête 17-09-06 à 11:32

Bon alors après avoir appliqué ta méthode et plusieurs calculs, je suis de nouveau bloqué : je poste ce que j'ai fait :

\sum_{k=1}^n(cos(x)e^{ix})^k=cos(x)e^{ix}\times \frac{[1-(cos(x)e^{ix})^n][1-cos(x)e^{-ix}]}{(1-cos(x)e^{ix})(1-cos(x)e^{-ix})}

=cos(x)e^{ix}\times \frac{1-cos(x)e^{-ix}-(cos(x)e{ix})^n+cos(x)e^{-ix}(cos(x)e^{ix})^n}{1-cos(x)e^{-ix}-cos(x)e^{ix}+cos^2(x)

=\frac{cos(x)e^{ix}-cos^2(x)-(cos(x)e^{ix})^{n+1}+cos^2(x)(cos(x)e^{ix})^n}{1-cos(x)(e^{ix}+e^{-ix})+cos^2(x)}

=\frac{(cos(x)e^{ix})^n(cos^2(x)-cos(x)e^{ix})-cos^2(x)+cos(x)e^{ix}}{1-cos^2(x)}

=\frac{cos(x)(cos(x)e^{ix})^n(cos(x)-e^{ix})-cos(x)(cos(x)-e^{ix})}{1-cos^2(x)}

=\frac{[cos(x)(cos(x)-e^{ix})][(cos(x)e^{ix})^n-1]}{sin^2(x)}

Sauf erreur bien entendu.

Peut-être qu'il fallait faire autre chose que cette méthode un peu bourrin ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide

Manu

Posté par
manu_du_40re : Une somme qui m'embête 17-09-06 à 14:55



Manu

Posté par
raymond Correcteurre : Une somme qui m'embête 17-09-06 à 18:51

Bonjour manu.
Il reste à simplifier cosx - eix = cosx - cosx - isinx = -isinx. Ce qui entrainera une simplification avec le dénominateur. Donc :
3$\textrm C_{n}(x) = \frac{i}{tanx}(1 - e^{inx}cos^{n}x), sauf erreur de ma part.
Attention, la division par cosx et la raison différente de 1 imposent des conditions de validation.
Pour la suite, tu sépares les parties réelle et imaginaire pour trouver An(x).
Cordialement RR.

Posté par
manu_du_40re : Une somme qui m'embête 21-09-06 à 20:32

Merci beaucoup Raymond (et désolé pour le retard). Je n'ai pas beaucoup accès à internet depuis le lycée.

Manu

Posté par
raymond Correcteurre : Une somme qui m'embête 22-09-06 à 03:05

Bonsoir.
C'était un plaisir de t'aider.
Cordialement RR.


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