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une suite astreignante
Montrer que 1 + x <= e^x (ça, ça va)
Soit Pn (a) = (1+a)(1+a²)......(1+a^n), a>0
Vérifier que Pn (a) < e^(a(1-a^n)/(1-a))
Montrer que pour 0<a<1, il existe M vérifiant P n (a) < M
Donner en fonction de a, une valeur possible de M.
Merci d'avance
1 + x <= e^x
Avec x = a -> 1 + a <= e^a
Avec x = a² -> 1 + a² <= e^(a²)
Avec x = a^n -> 1 + a^n <= e^(a^n)
Comme a > 0, tous les 1+a^n sont > 0 ->
(1+a)*(1+a²)*...(1+a^n) <= e^a * e^(a²)* ...*e^(a^n)
Pn <= e^a * e^(a²)* ...*e^(a^n)
Pn <= e^(a+a²+a³+...a^n)
Or a+a²+...+a^n est la somme de n termes en progression géométrique de raison a et de premier terme = a ->
a+a²+...+a^n = a.(1-a^n)/(1-a)
-> Pn <= e^(a.(1-a^n)/(1-a))
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Si 0 < a < 1, lim(n->oo) P(n) <= e^(a/(1-a))
...
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Sauf distraction. 
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