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Une suite de Fonction
Ok, Merci Elhor, c'était juste pour info, cette formule de Stirling...
j'aurais juste une petite question concernant toujours les suites de fonctions.
C'est du domaine du trivial, mais j'aimerais avoir des explications de "technique d'approche" de ce genre de problème.
***
On définit sur R une suite de fonction Un par :
Un(x) = na(x3(1-nx)3 + |x3(1-nx)3|) , n
1, a>0
1) Etudier les var. de Un sur R ??? comment procède t on?
2) Montrer la convergence simple de Un sur R vers une fonction à préciser;
3) Pour quelle valeur de a, on a une convergence uniforme?
Merci.
Le problème est que 
n1,
x3(1-nx)3 
0 , donc |x3(1-nx)3|= -[x3(1-nx)3] n
donc la partie entre parenthèse serait systématiquement nulle.
Non?
Bonsoir derby
Tu te trompes !
ce n'est pas toujours négatif.
En effet, est du signe de x(1-nx).
cette dernière expression est positive lorsque et négative ailleurs.
L'étude des variations de est alors triviale.
Cette fonction vaut sur
et est nulle partout ailleurs.
Kaiser
Bonsoir;
1)Oui derby,kaiser a raison on a bien et une petite étude de fonction montre alors que la fonction
(qui est positive et au moins de classe
sur
) est croissante sur
et décroissante sur
elle atteint donc sa borne supérieure en
et on a
.
2)Il est clair que la suite de fonctions converge simplement sur
vers la fonction nulle.
3)On a convergence uniforme sur si et seulement si
c'est à dire si et seulement si
.
Sauf erreurs bien entendu 
OK,
Voyons la suite (sans jeu de mot).
La question suivante apparaît alors plus facile :
Montrer que la série de fonctions (un) converge simplement sur R.
On note : S (x) = 
de n=1 à +
de un(x).
Je pense que lorsque n tend vers +, l'étude de la convergence simple se réduit à l'intervalle trivial de x : [0;0].
Ceci nous donne le fait que la suite converge simplement vers U(0) avec n :
Soit U(0) = 0
Alors, la série est finie et converge donc simplement.
Est ce que cela est "potable"?
je vous poste la suite du pb :
Montrer que pour tout entier q, avec q>0, on a :
qa+1/(a+1) k=1 à q de ka[(q+1)a+1 - 1]/ [a + 1]
Bonjour derby
En ce qui concerne la convergence simple de la série, ce n'est pas la pein de raisonner sur tout un intervalle puisque la convergence est une notionn locale. Il suffit de s'intéresser à la convergence de la série à x fixé.
Comme tu l'as remarqué, si x est strictement positive le support de la série est finie (c'està-dire que à partir d'un certain rang donc elle converge.
Dans le cas où x=0, tous les termes de la série sont nuls et donc elle converge.
Pour ton dernier message, je te donne simplement une indication : pense à encadrer par des intégrales.
Kaiser
Yo man, tu m'as mis sur la voix !
Pour te prouver que j'ai capté, je te donne mon résultat :
Soit f(k) = ka , une fonction strictement croissante.
de 0 à q de tadt de k=1 à q de ka de 1 à q+1 de ta dt
Grâce à vous, je progresse, et ca fait Pan ! dans les oreilles d'acadomia 
Ca a tilté dans ma notation, mais faites pas gaffe.
Nous voilà donc dans la suite du problème :
En déduire que la fonction S(x) est équivalente à (12 x 2-a)/[(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)]
Puis :
pour quelles valeurs de a, la convergence de la série de fonctions (Un) est elle uniforme sur R?
J'ai pas encore eu le temps de me plonger dans cet équivalent monstrueux, mais je vous reviens !
J'oubliais :
l'équivalence est soit disant valable quand x tend vers 0 par valeur positive...
qu'est ce que c'est que ce bordel?
Pour une fois que mon post est intéressant...
...
Desproges disait :
"Peut importe la forme, du moment qu'on ne touche pas le fond".
>elhor_abdelali
Nos chemins vont se croiser, je l'espère...
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