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Une suite récurrente

Posté par
TheMonster 27-08-22 à 22:54

Bonjour,
J'aurai besoin de quelques indications concernant l'exercice suivant :

Soit A l'ensemble des suites réelles (un)n* vérifiant

u1 > 0
n*, un+1 = un(un + 1/n)

1. Montrer que les suites de A sont strictement positives.

2.Soient u et v deux suites de A. Monter que si u1 < v1 alors un < vn

3. Quelles sont les seules limites possibles, finies ou infinies, des suites de A ?

4. a) Soit u une suite de A vérifiant : p* / up 1 - 1/p. Montrer que n p, un 1 - 1/n, puis montrer que (un)np est décroissante.
     b) En déduire que pour toute suite (un)n* de A,  on a lim u = 0 p* / up 1 - 1/p

Seule la question 4.b) me pose problème. Merci d'avance.

Posté par
Ulmierere : Une suite récurrente 27-08-22 à 23:46

A moi aussi parce que c'est faux
La suite constante egale à 1/4 verifie le membre de droite pour p = 2 mais ne tend pas vers 0.

Par contre pour une suite de A, c'est différent...
Le 4)a) nous dit que si la condition sur p est vraie alors la suite decroit et est minorée par 0 donc elle ... ???

Et vers quoi ? ---> question 3)

L'une des valeurs est impossible parce que ???

Conclusion il ne reste que 0 comme limite

Posté par
Ulmierere : Une suite récurrente 27-08-22 à 23:48

Erratum: en fait c'était bien précisé suite de A, j'ai mal lu
Mettons ca sur le compte de l'heure qu'il est

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une suite récurrente 28-08-22 à 00:18

Bonsoir


\Large\boxed{4.b)}


\boxed{ \Longrightarrow} une idée :


Soit \left(u_n\right)_{n\in\mathbb N^*} une suite de A telle que \lim u_n=0.


Alors l'ensemble \{p\in\mathbb N^*~/~u_{p+1}\leqslant u_p\} n'est pas vide (pourquoi )


Conclure. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Ulmierere : Une suite récurrente 28-08-22 à 00:52

Cette implication est vraie pour toute suite.
C'est simplement la définition de la convergence vers 0 de u(n)+1/n quand n tend vers l'infini

Posté par
TheMonsterre : Une suite récurrente 28-08-22 à 10:17

elhor_abdelali @ 28-08-2022 à 00:18

Bonsoir


\Large\boxed{4.b)}


\boxed{ \Longrightarrow} une idée :


Soit \left(u_n\right)_{n\in\mathbb N^*} une suite de A telle que \lim u_n=0.


Alors l'ensemble \{p\in\mathbb N^*~/~u_{p+1}\leqslant u_p\} n'est pas vide (pourquoi )


Conclure. sauf erreur de ma part bien entendu


Bonjour et merci pour votre réponse.

Notons B =  \{p\in\mathbb N^*~/~u_{p+1}\leqslant u_p\}

Selon moi, comme  \left(u_n\right)_{n\in\mathbb N^*} est une suite de A,  alors elle est à termes strictement positifs ( question 1). Si de plus, \lim u_n=0, alors  nécessairement, à partir d'un certain rang, \left(u_n\right)_{n\in\mathbb N^*} est décroissante.
Ainsi, \left(u_n\right)_{n\in\mathbb N^*} B.

Alors on a :                              Up(Up + 1/p) Up
c-à-d, en simplifiant par Up 0,
                                                       Up 1 - 1/p

Mon raisonnement est-il correcte ?

Posté par
TheMonsterre : Une suite récurrente 28-08-22 à 11:24

Ulmiere @ 27-08-2022 à 23:46

A moi aussi parce que c'est faux
La suite constante egale à 1/4 verifie le membre de droite pour p = 2 mais ne tend pas vers 0.

Par contre pour une suite de A, c'est différent...
Le 4)a) nous dit que si la condition sur p est vraie alors la suite decroit et est minorée par 0 donc elle ... ???

Et vers quoi ? ---> question 3)

L'une des valeurs est impossible parce que ???

Conclusion il ne reste que 0 comme limite


Bonjour et merci également pour votre réponse.

Il se trouve que je ne parviens justement pas à trouver une contradiction pour lim u = 1

Posté par
Ulmierere : Une suite récurrente 28-08-22 à 13:33

Le 4)a) dit que u est décroissante à partir d'un certain rang p, donc u_n \leqslant u_p= \leqslant 1 - 1/p pour tout n\geqslant p.

Si p = 1, résultat trivial puisque u est constante égale à 0.
Si p > 1, tu passes à la limite en n et tu trouves que 1 \leqslant 1 - 1/p < 1. Absurde.

Posté par
TheMonsterre : Une suite récurrente 28-08-22 à 13:59

*modération* >citation inutile supprimée*

Merci,
j'avais repéré ces éléments de réponse, cependant il ne m'est pas venu à l'esprit que p ici est fixé, et qu'on peut faire tendre n vers + infini, indépendamment de p.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une suite récurrente 29-08-22 à 00:00

Bonsoir TheMonster


Citation :
Selon moi, comme \left(u_n\right)_{n\in\mathbb N^*} est une suite de A, alors elle est à termes strictement positifs ( question 1).
Si de plus, \lim u_n=0, alors nécessairement, à partir d'un certain rang, \left(u_n\right)_{n\in\mathbb N^*} est décroissante.



Attention il n'est pas vrai en général qu'une suite à termes strictement positifs de limite nulle est nécessairement décroissante à partir d'un certain rang


comme le montre (par exemple) le cas de la suite \left(v_n\right)_{n\in\mathbb N} définie par \left\lbrace\begin{array}l v_{2n}=\frac{1}{n+1} \\ v_{2n+1}=\frac{1}{n} \end{array}


Si B=\{p\in\mathbb N^*~/~u_{p+1}\leqslant u_p\} est vide c'est que \forall p\in\mathbb N^*~,~u_{p+1}> u_p ce qui veut dire que la suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb N^*} est (strictement) croissante


ce qui est clairement absurde vu qu'on aurait (en particulier) \forall n\in\mathbb N^*~,~u_n\geqslant u_1>0 ...



Citation :
Alors on a : Up(Up + 1/p) Up
c-à-d, en simplifiant par Up 0,
Up 1 - 1/p

Mon raisonnement est-il correcte ?




Up 0 n'est pas suffisant pour simplifier et garder une inégalité de même sens



Tu peux aussi suivre l'argument de Ulmiere (pour cette implication) car si on a \lim~u_n=0



alors on a aussi \lim~u_n+\frac{1}{n}=0 d'où par définition (de la limite nulle) \forall\varepsilon>0~\exists p\in\mathbb N^*~\forall n\in\mathbb N^*~,~n\geqslant p~\Longrightarrow~|u_n+\frac{1}{n}|<\varepsilon



et en prenant (en particulier) \varepsilon=1 on a le p cherché sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
TheMonsterre : Une suite récurrente 29-08-22 à 11:14

elhor_abdelali @ 29-08-2022 à 00:00

Bonsoir TheMonster


Attention il n'est pas vrai en général qu'une suite à termes strictement positifs de limite nulle est nécessairement décroissante à partir d'un certain rang

comme le montre (par exemple) le cas de la suite \left(v_n\right)_{n\in\mathbb N} définie par \left\lbrace\begin{array}l v_{2n}=\frac{1}{n+1} \\ v_{2n+1}=\frac{1}{n} \end{array}



Bonjour, merci pour votre réponse.

Je ne parviens à voir que la suite (vn) qui est ainsi définie, constitue un contre-exemple, car on a :

v2n+2 - v2n = 1/(n+2) - 1/(n+1) < 0
Donc  (v2n) est décroissante.

De même,
v2n+3 - v2n+1 =  1/(n+1) - 1/n < 0
Donc  (v2n+1) est décroissante.

On aurait donc (vn) décroissante... ?

Citation :

Up   0 n'est pas suffisant pour simplifier et garder une inégalité de même sens


Oups, manque de précision, il faut bien-sûr que p, Up >0, ce qui est le cas ici d'après la toute première question. Mais quoiqu'il en soit, mon raisonnement de tient pas la route.

Puis concernant l'argument de Ulmiere, j'y étais bien parvenu sans soucis. Merci

Posté par
Ulmierere : Une suite récurrente 29-08-22 à 13:55

Citation :
ce qui est clairement absurde vu qu'on aurait (en particulier) \forall n\in\mathbb N^*~,~u_n\geqslant u_1>0


En fait, u_n > 0 pour tout n ne contredit pas la convergence vers 0. Un passage à la limite donnerait seulement 0 \geqslant 0
Ce que veut dire elhor_abdelali, c'est que l'inégalité u_n \geqslant u_1 donne en passant à la limite 0 \geqslant u_1 > 0. Et ça, c'est absurde.


Citation :
On aurait donc (vn) décroissante... ?

Non, puisque pour tout n, on a v_{2n+1} = \dfrac1{n} > \dfrac1{n+1} = v_{2n}. Si la suite était décroissante, l'inégalité serait dans l'autre sens


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