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Unicité de la limite d'une fonction
Bonsoir,
Je suis en train de travailler sur la démonstration de l'unicité de la limité d'une fonction, et j'ai trouvé cette démonstration sur internet (cf. image ci-dessous)
Je ne parviens pas à comprendre la dernière ligne : comment passe-t-on de
à
puisque
Merci d'avance 
NB : La démonstration est tirée du site : http://jaimelesmaths.voila.net/Capes/Lecon_58.pdf
La fin est un peu "pataude"...
0 < |l-l'| <= |l-l'|/2 est déjà absurde
... car un nombre positif ne peut pas être inférieur à sa moitié...
Maintenant la démo est juste et correspond à un simple jeu d'écriture :
0 < |l-l'| <= |l-l'|/2 ==> |l-l'| - |l-l'|/2 <= 0 d'où la conclusion...
Bonsoir,
on a quelque soit
strictement positif.
Or 0 est la borne inf des réels strictement positifs.
Bonsoir.
Il s'agit simplement d'un passage à la limite.
On démontre que pour tout 
>0, alors |l-l'|<2, donc en particulier pour 
0 :
|l-l'|
0
On peut écrire ça car |l-l'| est une constante indépendante de x, et la seule manière qu'une constante soit toujours inférieure à 2 est qu'elle soit négative.
L'absurdité provient du fait que c'est une constante strictement positive...
Bonsoir,
Seules les explications de LeDino ont un rapport avec le texte démonstratif proposé. Celles de Verdurin seraient valables dans un texte utilisant un raisonnement direct.
@WilliamM007 :
[L]a seule manière qu'une constante soit toujours inférieure à 2
est qu'elle soit négative.Peux-tu préciser la partie en gras ?
Thierry
Bonsoir LeDino, verdurin et WilliamM007, et merci pour réponses 
On peut écrire ça car |l-l'| est une constante indépendante de x, et la seule manière qu'une constante soit toujours inférieure à 2 est qu'elle soit négative.
WilliamM007, je ne comprends pas bien ce point là. Ce que je ne comprends pas est que étant donné que 2
Merci d'avance.
Salut ThierryPoma,
c'est vrai que je préfère les raisonnements directs aux raisonnements par l'absurde.
Je me suis laisser emporter.
@ ThierryPoma et @ nils290479
On peut écrire ça car |l-l'| est une constante indépendante de x, et la seule manière qu'une constante soit toujours inférieure à 2
est qu'elle soit négative. D'une part, pour moi "négative" signifie en fait "négative ou nulle"
D'autre part, il faut comprendre "soit toujours inférieure à 2
, pour tout >0".
Il est clair que si ce n'est vrai que pour un seul
>0, alors on ne peut pas en conclure que la constante est négative (ou nulle).
Et le fait que ce soit une constante indépendante de x est important. En effet, de manière générale on est souvent amener à majorer la quantité |f(x)-l| par
, c'est-à-dire écrire :
|f(x)-l|<
.
On ne peut clairement pas ici appliquer le même raisonnement et en déduire que |f(x)-l|
0.
Pourquoi ? Cela se voit bien si l'on écrit les quantificateurs proprement. Par exemple dire que f(x) tend vers l en a :
>0,
>0/x
,|x-a|<
|f(x)-l|<
Il est donc faux de dire que pour tout
>0, |f(x)-l|<.
Il faut dire que pour tout
>0, et pour tout x assez proche de a, |f(x)-l|<. Aucune raison donc ici de pouvoir passer à la limite 0 car à chaque fois que l'on prend un nouvel , le domaine des x où l'inégalité est vraie varie.
Par contre, dans le cas d'une constante indépendante de x, eh bien on se débarrasse justement du problème de la dépendance en x. On prend
>0, et on a directement |l-l'|<. Dire ici que ce serait vrai seulement pour x assez proche de a n'aurait aucun sens, puisqu'on majore une quantité indépendante de x, donc ce dernier n'intervient pas. C'est la raison pour laquelle ici on peut passer à la limite 0 et en déduire |l-l'|0 (et même =0 car une valeur absolue est nécessairement positive, mais là on voyait la quantité comme une constante, et on ne s'intéressait pas tellement à sa qualité de valeur absolue).
On pourrait le voir légèrement différemment en se disant que |l-l'|<
pour tout >0, c'est en fait dire que l'l, ou plutôt f(x)l, où f est la fonction constamment égale à l'. Une telle limite ne peut bien sûr se produire que si l=l'.
En espérant que ce soit un peu plus clair pour nils290479...
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