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unicité du centre de symétrie
Bonjour,
je cherche à montrer que le centre de symétrie d'une figure géométrique est unique, si elle existe.
Je connais le résultat suivant :
la composée de deux symétries centrales de centres et
est une translation de vecteur
Bonsoir,
Supposons qu'il ait deux centres de symétries et
distincts.
Quelle est l'image d'une figure par
où
et
sont les deux symétries centrales de centres
et
?
Ta question est trop vague :
Le graphe de la fonction "sinus" est une figure géométrique qui a plus de deux centres de symétrie.
Quelle est l'image d'une figure
L'image d'une figure
Ta question est trop vague :
Le graphe de la fonction "sinus" est une figure géométrique qui a plus de deux centres de symétrie.
On considère seulement les polygones convexes à n côtés où n>=3
De même, on considère uniquement les polygones convexes à n côtés où n>=3, pas des points ou des droites.
je cherche à montrer que le centre de symétrie d'une figure géométrique est unique, si elle existe.
Si il existe
Les droites dans le "plan" ou l' "espace " ont un infinité non dénombrable de "centres de symétrie"
De même, on considère uniquement les polygones convexes à n côtés où n>=3, pas des points ou des droites.
salut
soit P une figure convexe symétrique par rapport à I et s la symétrie associée à I ...
par définition (d'une symétrie centrale) pour tout point M de P s(M) est un point de P et I est le milieu du segment [Ms(M)]
soit J un autre centre de symétrie et t la symétrie centrale de centre J ...
salut
soit P une figure convexe symétrique par rapport à I et s la symétrie associée à I ...
par définition (d'une symétrie centrale) pour tout point M de P s(M) est un point de P et I est le milieu du segment [Ms(M)]
soit J un autre centre de symétrie et t la symétrie centrale de centre J ...
mais d'autre part J est aussi le milieu du segment [It(I)]
faire alors une figure ...
Si ta figure est un ensemble borné (un ensemble fini est borné) il ne peut y avoir deux centres de symétrie puisque la figure serait invariante par des translations non nulles.
Bonjour,
Bravo sgu35 de prolonger ta réflexion 
J'abonde dans la direction de luzak et je ne crois pas que l'on puisse trouver une démonstration sans utiliser le fait qu'il y a un nombre fini de points.
Avec ces données :
P un ensemble de points du plan.
s et r deux symétries de centre distincts qui laissent l'ensemble P globalement invariant.
On a :
La composée de s et r est une translation tu, de vecteur non nul u, qui laisse aussi l'ensemble P globalement invariant.
Soit A un point de P, et An = tnu(A) avec n entier naturel.
Tous les points An sont distincts.
Donc P est infini.
J'ai fait une figure mais je ne vois pas où tu veux en venir :
on a simplement
luzak a donné une réponse ... mais aussi :
avec les deux points I et J et leurs images respectives par t et s tu obtiens quatre points
ces quatre points sont symétriques par rapport au milieu du segment [IJ] : tu peux alors construire une suite infinie de points qui sont milieux de milieux de ... milieux et donc centre de symétrie ...
et au final on obtient la droite (IJ) ... qui n'est pas bornée ... et contredit ou entre en contradiction avec la "bornitude" du polygone initial ...
Soit A un point de P, et An = tnu(A) avec n entier naturel.
Tous les points An sont distincts.
Je ne comprends pas comment on introduit les points An, il existe une seule translation qui laisse invariant la figure...
Si ta figure est un ensemble borné (un ensemble fini est borné) il ne peut y avoir deux centres de symétrie puisque la figure serait invariante par des translations non nulles.
De quelles translations veux-tu parler?
ces quatre points sont symétriques par rapport au milieu du segment [IJ] : tu peux alors construire une suite infinie de points qui sont milieux de milieux de ... milieux et donc centre de symétrie ...
Quel est le rapport avec la figure P?
Soit A un point de P, et An = tnu(A) avec n entier naturel.
Tous les points An sont distincts.
Je ne comprends pas comment on introduit les points An, il existe une seule translation qui laisse invariant la figure...
si il y en a une (non identité), il y en a une infinité !
si la translation de vecteur
laisse la figure invariante, celle de vecteur k. aussi avec k entier...Si F1 est le symétrique de F par la translation de vecteur et que F2 est le symétrique de F1 par la translation de vecteur
, alors F2 est le symétrique de F par la translation de vecteur
, est-ce exact?
que c'est compliqué ! pour s'embêter avec ces histoires de symétrique ?
ton problème est bien :
Soit F une figure plane bornée, montrer que si il existe un centre de symétrie, alors il est unique ...
?
Plus exactement, si F1 est le symétrique de F par la translation de vecteur \vec{u}, alors la figure F2 symétrique de F1 par la translation de vecteur \vec{u} est le symétrique de F par la translation de vecteur \vec{2u}
Posté par matheuxmatou 06-05-20 à 11:15
que c'est compliqué ! pour s'embêter avec ces histoires de symétrique ?
ton problème est bien :
Soit F une figure plane bornée, montrer que si il existe un centre de symétrie, alors il est unique ...
?
Oui c'est exact, mais au début je pensais plutôt considérer les polygones convexes et les cercles aussi.
et tu en ferais quoi ensuite ? et un polygone peut être borné sans être convexe 
je ne vois pas où est la difficulté avec tout ce qui a été dit...
si il y a 2 centres de symétrie distincts, I et J et d=IJ
0
la figure est bornée donc incluse dans une certaine boule de centre I et de rayon R
la translation T de vecteur 2.IJ laisse F invariant et donc toute translation Tk de vecteur 2k.IJ laisse F invariante (k 
)
tu prends un entier k supérieur à R/(2kd)
Tk(I)=N et IN > R donc N est dans la figure et pas dans la boule... contradiction... conclusion
ces quatre points sont symétriques par rapport au milieu du segment [IJ] : tu peux alors construire une suite infinie de points qui sont milieux de milieux de ... milieux et donc centre de symétrie ...
Quels points dois-je considérer après le milieu du segment [IJ]?
Tk(I)=N et IN > R donc N est dans la figure et pas dans la boule...
Pourquoi N est-il dans la figure?
Rebonjour,
On s'y perd un peu dans ce mélange de 2 démonstrations
@sgu35, on n'utilise pas l'adjectif "symétrique" quand il s'agit d'une translation.
On peut utiliser l'adjectif "translaté". Ou, plus long, " le point machin est l'image du point truc par la translation".
Si une figure est globalement invariante par la translation de vecteur u, alors elle est aussi globalement invariante par la translation de vecteur ku où k est un entier naturel.
tu peux alors construire une suite infinie de points qui sont milieux de milieux de ... milieux et donc centre de symétrie ...
Carpediem, comment introduire ces centres de symétrie?
Tk(I)=N et IN > R donc N est dans la figure et pas dans la boule...
Pourquoi N est-il dans la figure?
tu as lu tout le texte ?
Rebonjour,
@matheuxmatou,
Je ne sais pas si j'ai bien compris, mais le point I est le centre d'une symétrie qui conserve la figure.
Le point I n'a aucune raison de faire partie de la figure, ni ses images.
A 8h42, je proposais de partir d'un point A de la figure pour lui appliquer les translations.
exact Sylvieg tu as tout à fait raison (comme souvent )
merci de rectifier j'avais été un peu vite... pardon sgu35
disons effectivement qu'on prend un point A de F et que F tient dans la boule de rayon R centrée sur A... et je prend Tk(A) avec les paramètres précédemment cités.
ATk(A) > R et Tk(A) F
sauf avec le correctif
De même, on considère uniquement les polygones convexes à n côtés où n>=3, pas des points ou des droites.
Oui c'est exact, mais au début je pensais plutôt considérer les polygones convexes et les cercles aussi.
mais il est vrai qu'on n'en a pas besoin ...
En fait, ce qui n'est pas clair depuis le début, c'est ce qu'on considère comme figure.
C'est pourquoi j'ai préféré préciser que je raisonnais sur un ensemble fini de points.
Un quadrilatère correspondrait à 4 points.
Même si on peut considérer qu'un quadrilatère c'est autre chose. Voir 
Pour démontrer qu'une transformation laisse un quadrilatère ABCD globalement invariant, on se contente de démontrer que l'ensemble {A, B, C, D} est globalement invariant. On ne parle pas de l'intérieur du quadrilatère. Si ?
ouais on retombe sur ce pb de vocabulaire ...
il y a le cercle et le disque ... et il y a le carré et le carré ... sans pouvoir préciser si c'est le contour ou la surface ...
mais ça ne change pas grand chose puisqu'une symétrie conserve les barycentres donc l'enveloppe convexe de toute "figure"
de toute façon globalement invariant s'entend en terme ensembliste : l'image de la figure est la figure en tant qu'ensemble de points et sans s'occuper de savoir quel point est l'image de quel point
ce qui fait que convexe ou non n'a guère d'importance comme peuvent le montrer le cercle et le disque ...
Bonjour,
Bravo sgu35 de prolonger ta réflexion
J'abonde dans la direction de luzak et je ne crois pas que l'on puisse trouver une démonstration sans utiliser le fait qu'il y a un nombre fini de points.
Avec ces données :
P un ensemble de points du plan.
s et r deux symétries de centre distincts qui laissent l'ensemble P globalement invariant.
On a :
La composée de s et r est une translation tu, de vecteur non nul u, qui laisse aussi l'ensemble P globalement invariant.
Soit A un point de P, et An = tnu(A) avec n entier naturel.
Tous les points An sont distincts.
Donc P est infini.
Est-ce que cette démonstration fonctionne pour les cercles?
***Bonjour***
Il a déjà été écrit que la finitude du nombre de points n'a rien à faire ici : tout ce qui compte, c'est que l'ensemble qui a une symétrie centrale soit borné. Ça s'applique donc à un cercle.
dans le cas d'une figure convexe le centre de symétrie appartient à la figure ...
mais il est vrai qu'on n'en a pas besoin ...
Tu veux dire par là que le centre de symétrie est inclus dans la zone délimitée par la figure convexe ou que c'est un point de cette figure?
En fait, ce qui n'est pas clair depuis le début, c'est ce qu'on considère comme figure.
C'est pourquoi j'ai préféré préciser que je raisonnais sur un ensemble fini de points.
Un quadrilatère correspondrait à 4 points.
Même si on peut considérer qu'un quadrilatère c'est autre chose. Voir
Pour démontrer qu'une transformation laisse un quadrilatère ABCD globalement invariant, on se contente de démontrer que l'ensemble {A, B, C, D} est globalement invariant. On ne parle pas de l'intérieur du quadrilatère. Si ?
Sl l'ensemble {A,B,C,D} est invariant par une similitude, alors le carré (ABCD) est lui aussi invariant car toute similitude conserve le parallélisme. (l'image d'une droite est une droite).
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