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Unicité du développement en série de Fourier

Posté par
Jonny512
13-02-10 à 13:23

Bonjour

Existe-t-il un théorème sur l'unicité du développement en série de Fourier d'une fonction?
Si oui pouvez vous m'en donner une démonstration (ou tout du moins les éléments principaux)?

Merci de votre aide

Posté par
Foxdevil
re : Unicité du développement en série de Fourier 13-02-10 à 14:06

Bonjour,

La série de fourier d'une fonction (à supposer qu'elle soit développable) n'est rien d'autre que la limite de la suite des sommes partielles des c_n(f) \times e^{i\pi n x}.

Une limite de suite à de fortes chances d'être unique, non? (du moins dans un espace séparé, ce qui est évidement le cas).

Posté par
Camélia Correcteur
re : Unicité du développement en série de Fourier 13-02-10 à 15:00

Bonjour

Foxdevil n'a pas tort, si on prend la question à la lettre.

En revanche, si la question est

Si on a \bigsum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inx}=\bigsum_{n=-\infty}^{\infty}d_ne^{inx} (égalité de fonctions, séries supposées convergentes) a-t-on c_n=d_n pour tout n?

la réponse est oui, mais la démonstration est loin d'être facile (pas évident à mettre ici).

Posté par
Jonny512
re : Unicité du développement en série de Fourier 13-02-10 à 15:03

Oui en fait ma question correspondait plus à la réponse de Camélia.

Merci à vous deux!

Posté par
Vantin
re : Unicité du développement en série de Fourier 03-10-22 à 23:09

Camélia @ 13-02-2010 à 15:00

Bonjour

Foxdevil n'a pas tort, si on prend la question à la lettre.

En revanche, si la question est

Si on a \bigsum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inx}=\bigsum_{n=-\infty}^{\infty}d_ne^{inx} (égalité de fonctions, séries supposées convergentes) a-t-on c_n=d_n pour tout n?

la réponse est oui, mais la démonstration est loin d'être facile (pas évident à mettre ici).


Bonjour,
J'aimerais travailler sur cette démonstration, aurais-tu un ouvrage de référence qui explique comment on arrive à ce résultat ?

Qu'en est t-il de la réciproque ?
Admettons que deux fonctions aient les mêmes coefficients, est ce que les fonctions sont les mêmes ?
Intuitivement je dirais non  vu que les coefficients correspondent à des calculs d'intégrales, j'imagine qu'on peut trouver deux fonctions différentes qui ont la même aire (donc même coefficient) mais f et g sont différentes mais peut être que mon intuition n'est pas bonne...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Unicité du développement en série de Fourier 04-10-22 à 15:48

Bonjour

12 ans plus tard!

Si deux fonctions ont les mêmes coefficients de Fourier elles sont évidemment égales. la réponse de Foxdevil est applicable.

Pour la réciproque, qui est vraie malgré ton intuition, tu peux regarder dans wiki convergence quadratique est base hilbertienne.

Posté par
Vantin
re : Unicité du développement en série de Fourier 04-10-22 à 18:27

Alors oui mais pas en général, j'ai réussi à formaliser mon idée.
Soit f la fonction nulle et g la fonction nulle excepté en 1 point.
Leur coefficient de fourier sont identiques pourtant f différent de g. En fait la condition clé c'est la continuité, ça m'a prit du temps pour percuter.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Unicité du développement en série de Fourier 05-10-22 à 14:44

Oui, bien sur; il me semblait que la continuité était acquise!



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