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Unicité du développement en série de Fourier
Bonjour
Existe-t-il un théorème sur l'unicité du développement en série de Fourier d'une fonction?
Si oui pouvez vous m'en donner une démonstration (ou tout du moins les éléments principaux)?
Merci de votre aide
Bonjour,
La série de fourier d'une fonction (à supposer qu'elle soit développable) n'est rien d'autre que la limite de la suite des sommes partielles des .
Une limite de suite à de fortes chances d'être unique, non? 
(du moins dans un espace séparé, ce qui est évidement le cas).
Bonjour
Foxdevil n'a pas tort, si on prend la question à la lettre.
En revanche, si la question est
Si on a (égalité de fonctions, séries supposées convergentes) a-t-on
pour tout n?
la réponse est oui, mais la démonstration est loin d'être facile (pas évident à mettre ici).
Bonjour
Foxdevil n'a pas tort, si on prend la question à la lettre.
En revanche, si la question est
Si on a
la réponse est oui, mais la démonstration est loin d'être facile (pas évident à mettre ici).
Bonjour,
J'aimerais travailler sur cette démonstration, aurais-tu un ouvrage de référence qui explique comment on arrive à ce résultat ?
Qu'en est t-il de la réciproque ?
Admettons que deux fonctions aient les mêmes coefficients, est ce que les fonctions sont les mêmes ?
Intuitivement je dirais non vu que les coefficients correspondent à des calculs d'intégrales, j'imagine qu'on peut trouver deux fonctions différentes qui ont la même aire (donc même coefficient) mais f et g sont différentes mais peut être que mon intuition n'est pas bonne...
Bonjour
12 ans plus tard!
Si deux fonctions ont les mêmes coefficients de Fourier elles sont évidemment égales. la réponse de Foxdevil est applicable.
Pour la réciproque, qui est vraie malgré ton intuition, tu peux regarder dans wiki convergence quadratique est base hilbertienne.
Alors oui mais pas en général, j'ai réussi à formaliser mon idée.
Soit f la fonction nulle et g la fonction nulle excepté en 1 point.
Leur coefficient de fourier sont identiques pourtant f différent de g. En fait la condition clé c'est la continuité, ça m'a prit du temps pour percuter.
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