Elle est UC sur les 2 intervalles !

Bonjour

Non, ni sur l'un ni sur l'autre, puisque tend vers l'infini quand tend vers par valeurs positives.

Mais elle est uniformément continue sur pour tout

Bonjour Camélia, ce que vous montrez c'est que f est non lipschitzienne, pas non UC!

Okk merci lionel52

En effet!

Pour une application f : X      et  t > 0 on  pose   w(f,t) = Sup [ |f(x) - f(y)| │  (x,y) X² et |x - y| < t } ( c'est un élément de [0 , +] )  .
t   w(f,t) est croissante  . On pose w(f) = Inf {w(f,t) | t > 0 }  ( ( c'est  aussi un élément de [0 , +] )  .

  On a :  f est  uniformément continue    SSI    w(f)  = 0 .

Soient a > 0  et   p_a    l'application    continue de  ₊  vers   telle que  p _a(x) = exp(aln(x)) si x > 0 . Le calcul de   w(p_a)   se fait facilement .

Soit t > 0 .
On a      w( p_{[/sub],t) =  Sup{ p[sub]a}(x + t)  - p_a(x)  |  x   0   }   puisque p_a  est croissante   .

  .si t  > 1 ,   x    p_a(x + t)  - p_a(x)   est  croissante  non bornée donc  p_a  n'est pas UC .

  .si t 1  on a   w(p_a,t) = t^a  donc   p^a  est UC

Bonjour  je suis d'accord avec etniopal.
Néanmoins on peut aussi voir l'uniforme continuité de cette fonction comme cela:
D'abord si il a y un problème d'uniforme continuité cela viendra de
En effet la fonction étant continue sur [0,1],  elle est UC sur [0,1].
Maintenant sur  elle est k-lips (facile à voir avec le th des A.F) donc UC sur

Cela implique donc l'UC sur

Merci

Moi je l'avait demontre comme suit en utilisant la definition de l'uniformement continue:



=>
=>
Alors >0 = telque x,y[0;+ ]on |x-y|<=> |f(x)-f(y)|<

1.
Tu n'as fait aucun raisonnement .

2.
Depuis quand  a-t- on : 1/(x + y)     1/|x  -  y|  pour tout x > 0 et tout y > 0           ?

Rebonjour
@etnopial,  pour la remarque 1  je suis d'accord.
D'ailleurs  à cause du problème en 0 , on devrait faire un travail particulier à ce niveau.
Je conseillerai à Rana d'imposer à \delta d'être inférieur à 1/2.
puis de considérer  2 cas
cas 1  x<=1  
cas 2  x>1   (ici x et y ne s'approchent pas de 0)

@etnopial pour la remarque 2, je pense que l'inégalité est vraie,non?  

Rebonjour
Pour x 1, on a :
xx est continue sur [0;1] (compact) alors f(x)=x est uniformement continue

pour x>1 , on a:
|f(x)-f(y)=|x -y |

=| |

Or x +y 2



|f(x)-f(y)|
Prenons alors =>0.
Donc >0 >0, x,y[1;+] , |x-y|<|f(x)-f(y)|<




Et pourquoi le raisonnement ici est faux?

Rana @ 18-05-2017 à 19:34

Merci

Moi je l'avait demontre comme suit en utilisant la definition de l'uniformement continue:



=>
=>
Alors >0 = telque x,y[0;+ ]on |x-y|<=> |f(x)-f(y)|<

Bonjour,

"Depuis quand  a-t- on : 1/(Vx +V y)  <=   1/|Vx  -  Vy|  pour tout x > 0 et tout y > 0 ? "

A mon avis, si l'inégalité est vraie pour tout x, y > 0, si on prend x = y, il y aura un très gros problème....

Bon ok, mais pourquoi vous avez considerer que ce n'était pas un raisonnement

Rana @ 19-05-2017 à 13:31

Rebonjour
Pour x 1, on a :
xx est continue sur [0;1] (compact) alors f(x)=x est uniformement continue

pour x>1 , on a:
|f(x)-f(y)=|x -y |

=| |

Or x +y 2



|f(x)-f(y)|
Prenons alors =>0.
Donc >0 >0, x,y[1;+] , |x-y|<|f(x)-f(y)|<

Soit , tels que . Partant,



avec



(...)

L'idée est ici de montrer que la fonction racine carrée est -höldérienne sur .

Ne pas oublier que l'uniforme continuité est une propriété métrique, pas topologique.

Rana,
Dans ton raisonnement, comment as tu fait pour faire apparaître .
Tu cherches à retomber sur la définition...Je pense que tu as considéré en avance que f était uniformément continue...donc ça coince pour ton choix d'epsilon...Donc t'as rien démontré.

Bonjour
@oldboub, bien sûr tu as raison mais implicitement j'exclus le cas  x=y car dans ce cas il n'y a rien à démontrer. De toute façon, ici il s'agit dans les remarques  à arriver à quelque chose qui tienne la route. Ce que simplement je veux pointer  ici, c'est que cette inégalité utilisée par Rana n'est pas le vrai problème. La difficulté est dans l'enchainement des implications où l'on ne s'y retrouve pas.
Finalement @Rana, pour en finir,   je  te corrige mais avant tout je te fais remarquer
que
1. la solution est donnée par  etnopial ( 18-05-17 à 17:15)qui calcule w(f) et cela montrer que x^a est UC sur R^+ pour a<=1 et non UC pour a>1? (nous ci a=1/2).
2. ou par moi (18-05-17 à 18:50)  même si je ne mets pas tous les détails.
3. En fait ce que tu  veux c'est revenir à la définition et c'est normal.  C'est à dire que tu cherches "\delta en fonction de \epsilon  pour obtenir le résultat pour dire les choses simplement"
Selon tes derniers posts il me semble que tu as bien compris la définition et son sens
et tu as commencé a donner une solution pas tout à fait correcte mais on en est pas loin.
Je te donne dans un post à suivre ce vers quoi tu voulais arriver mais il me faut laisser un peu de temps pour rédiger.

Ok merci et j'attendrais ton post

Rebonjour,
Soit   (On ne restreint pas la généralité en supposant que
( et x plus petit que  y)


première étape (et premier réflexe)Par le théorème des accroissement finis on a:


pourvu que

On a donc

On a donc f est 1/2-lipschitzienne sur   et  cela implique  (c'est bien connu)  que f est u-c sur  .

si ce n'est pas connu c'est facile à voir:

en effet avec



C'est à peu près ce que tu as écris dans ton dernier post.

deuxième étape: On voit que l'on a un petit problème au voisinage de 0. En effet  
peut être très grand quand x et y sont proches de 0.

Autrement dit f n'est pas k-lipschitzienne sur [0,1]. Si on veut faire une démonstration, c'est plus technique et on devrait en gros reprendre celle qui montre que si f est continue sur  un compact (j'entends ici intervalle fermé borné) elle est uniformément continue sur ce compact.

J'utilise donc ce résultat mais sur [0,2]  (au lieu de [0,1] "pour recoller les morceaux")


troisième étape

On sait que f est uc sur  [0,2] et  sur   donc sur    .

En effet  on  a  




remarque: dans la phrase précédente, on peut toujours remplacer par

De même


  
En choisissant on a bien



c.q.f.d
  

Ok merci beaucoup