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Uniformément continue et Heine
Bonjour à tous, j'ai une question (deux en fait) sur la continuité uniforme, et je m'excuse par avance si mes questions vont être inutiles ou floues 
.
D'abord, la définition:
strictement supérieur à 0, 
strictement supérieur à 0, tel que x,y 
Df, valeur absolue de (x-y) strictement inférieure à 
valeur absolue de (f(x)-f(y)) est strictement inférieure à
(Note: f: Df ---> R)
Donc là, pas de soucis, je comprends la définition, mais cela dit, si un de vous aurait un petit schéma pour me montrer par quoi ça se traduit graphiquement, parce que malgré tout, ça reste un peu abstrait (Ou un schéma montrant la différence entre une fonction uniformément continue et une qui ne l'est pas).
Et ensuite, en me relisant, il y'a un truc qui me trouble assez...
Théorème de Heine: Soit f: [a,b]---> R une fonction continue, alors f est uniformément continue.
Remarque: La réciproque est fausse! Il existe des fonctions continues qui ne sont pas nécessairement uniformément continues.
J'ai du me tromper dans la remarque non ? Sinon, quelqu'un peut m'expliquer, ça me semble bizarre cette tournure...
Merci!
Bonjour,
en fait l'uniforme continuité ça ne se voit pas trop graphiquement par rapport à une fonction continue, y a une petite histoire de variation brusque de la fonction mais ça reste peu visible.
Le théorème de Heine indique que toute fonction continue sur un compact est uniformément continue .
On dispose de cette implication suivante :
Pour la dernière implication, la réciproque est fausse, en effet la fonction carré sur n'est pas uniformément continue mais continue.
Je dis bien sur car comme la fonction carré est continue sur le compact
ou
elle y est aussi uniformément continue d'après le théorème de Heine !
D'accord, je crois que je comprend un peu mieux, c'est juste quand c'est réduit à un intervalle qu'on peut conclure c'est ça ?
Bon, après, j'dois avouer que c'est un peu... Pas clair. Mais j'ai le temps de voir à mon avis, on m'a jamais parlé de choses k-lipschitzienne, ou même employé le terme "compact" (= intervalle?)
En tout cas, merci d'avoir pris un peu de temps pour me répondre.
Dans , les compacts sont exactement les fermés bornés. Donc un compact c'est un fermé borné (Théorème de Borel-Lesbesgue)
Par exemple :
]-5,3[ est un ouvert.
]-5,3] est un semi-ouvert.
[-5,3] est un fermé, et il est borné c'est donc un compact.
[-5,[ est un fermé non borné.
D'accord merci, ça au moins, j'aurais compris, c'est du vocabulaire. Pour le reste, je suis sur que ça viendra, encore merci alors !
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