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Union d'espace complet
connaissant la définition d'espace métrique complet en effet un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy à élément dans l'espace converge dans l'espace en question
soient dont deux espaces métrique À et B muni d'une distance d
montrons que si À et B sont complets alors leur union l'est aussi ainsi que leur intersection
merci pour vos réponse
(suis nouveau dans l'etude)
je vous remerci d'être explicite
soient donc deux espaces métrique A et B muni d'une distance d
Alors là, déjà, j'ai gros un soucis d'énoncé.
Si j'ai deux espaces métriques A et B quelconques, je dois avoir deux distances distinctes; une sur chacun des deux. Ça, c'est pas difficile à résoudre.
Plus délicat maintenant : quelle est la métrique sur
Bonsoir.
Ce que je comprends :
Soient un espace métrique,
et
. Montrer que si
et
sont complets, alors
et
sont complets.
Soit une suite de Cauchy dans
. S'il existe un nombre fini de termes dans A alors c'est trivial. Idem s'il existe un nombre fini de termes dans B. S'il existe un nombre infini de termes dans A et dans B, on extrait deux sous-suites : une d'éléments de A, l'autre d'éléments de B, telle que les deux recouvrent tous les indices. Elles convergent, donc la suite
converge.
est fermé dans A qui est complet, donc
est complet.
Il aurait été préférable de laisser le posteur méditer sur son énoncé bancal ... et nous en donner un correct, complet (c'est le cas de le dire) et précis.
On appelle terme d'une suite tout élément de cette suite lorsqu'elle est vue comme famille d'éléments.
Une suite u à valeurs dans un ensemble E est une application arrivant dans E et partant d'un ensemble de la forme { n 
│ n > N } ou { n │ n< N } pour un certain N de .
Bien sûr on se ramène quasiment toujours au cas où u part de 
.
Si " terme de la suite u : 
E " veut dire " élément de u() " on peut se passer de l'utilisation du mot "terme" .
Pour l'exo :
On se donne un espace métrique E , 2 parties non vides complètes A et B de E , une suite de Cauchy u : A 
B et on veut montrer que u converge vers un élément de A B .
Pour ça on va utiliser les 2 propriétés suivantes (faciles à montrer ) concernant les suites à valeurs dans un métrique :
..Toute sous-suite d'une Cauchy est aussi Cauchy
..Si une sous-suite v d'une Cauchy w converge vers c alors w converge vers c .
On va aussi distinguer 2 cas : u() fini ou infini .
cas1 : u() est fini .
Dans ce cas il existe c A B tel que u-1(c) soit infini .
Si t : est strictement croissante et vérifie t() = u-1(c) alors u o t converge vers c ; et donc u converge aussi vers c .
cas2: u() est infini .
Dans ce cas u-1(A) ou u-1(B) est infini .
Si u-1(A) est infini on considère s : strictement croissante telle que s() = u-1(A) .
u o s qui est une sous suite de u est donc Cauchy , donc converge vers un élément a de A et u converge aussi vers a A B .
Même genre de preuve si c'est u-1(B) qui est infini .
Si " terme de la suite u :
E " veut dire " élément de u() " on peut se passer de l'utilisation du mot "terme" .Je ne comprends sincèrement pas où tu veux en venir. Quel est l'intérêt de se passer de l'utilisation du mot "terme" (qui au passage est un mot largement employé par toute la communauté) ? Est-ce pour éviter d'introduire du vocabulaire superflux ? À ce moment là, pourquoi parler de "suite", puisqu'il ne s'agit que d'un cas particulier d'application ?
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