Bonjour,

Sur tout corps fini de cardinal , tout espace vectoriel de dimension est  réunion de droites vectorielles.

Bonjour,
Merci de votre réponse!
Cependant je n'arrive pas à faire de raisonnement propre pour prouver cela, j'ai essayé de le faire en dimension 2 en "quadrillant" l'espace avec des droites construites à l'aide de deux vecteurs formant une base de l'espace. Dans le cas général,  j'imagine qu'il faut raisonner de la même manière avec du dénombrement. Est- ce que vous pourriez me donner une piste sur la démarche à suivre svp?

C'est simple : à tout élément non nul de l'espace vectoriel tu associes la droite vectorielle . Comme un espace vectoriel de dimension finie sur un corps fini est fini, ça te fait bien une famille finie de droites vectorielles qui recouvre l'espace.
Dans le cas d'un espace vectoriel de dimension infinie, on ne va bien sûr pas pouvoir le recouvrir par un nombre fini de droites vectorielles. Mais on peut par exemple le recouvrir par un nombre fini d'hyperplans contenant un même sous-espace de codimension 2.

Je me permets d'ajouter quelque chose, en notant les éléments de   on obtient que tout élément s'écrit sous la forme.
On peut alors "commencer" par la droite qui contient q éléments puis continuer le quadrillage avec les droites . Il existe q droites de cette forme. On a déjà q+1 droites, en réitérant le processus, on obtient 1+q+q^2 droites, et une fois qu'on aura tous les éléments on aura 1+q+...+q^d-1 droites. C'est fait avec les mains mais ça me semble être la marche à suivre.

Désolé, j'étais en train d'écrire mon message pendant votre réponse, merci beaucoup!

Je rajoute une question : est-il possible d'écrire un ev de corps fini mais de dimension infinie comme une union disjointe/dénombrable de sev stricts ? Je suis resté pas mal de temps à esssayer de le démontrer hier soir, sans succès. Peut-être que c'est juste impossible

Disjointe, sûrement pas ! Tu vois pourquoi ?
Comme union finie de sous-espaces vectoriels stricts, j'ai brièvement expliqué comment faire plus haut.

finie*, pas disjointe je sais bien sûr que tout sev contient le 0

Quand à la démonstration, je parlais d'un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps fini. Il me semble que ce problème n'a pas été traité dans ce fil

My bad, je n'avais pas vu la suite du message...

Bonsoir, est ce que vous pourriez donner plus d'indications dans le cas de la dimension finie? Comment trouver ces hyperplans et d'où viendrait ce sous espace de codimension 2 ?

L'histoire des hyperplans et de la codimension 2 concerne la dimension infinie. Pour la dimension finie, regarde l'application de GBZM, sachant que toute partie de contenant est lui-même…

Je voulais dire dimension infinie... au temps pour moi une erreur d'inattention.

Dans un espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à 2 sur un corps fini, il y a un nombre fini d'hyperplans contenant un sous espace fixé de codimension 2 (on peut raisonner dans un plan supplémentaire de ).