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union & intersections d'ensembles
Bonsoir,
j'ai un petit souci. Je veux montrer q'une intersection quelconque d'union finie d'intervalles réels fermés est une union finie d'intervalles fermés.
Salut romu,
On a 
[1/n,1]=]0,1], qui n'est pas fermé.
Donc, si j'ai bien compris la question, il me semble que ça ne peut
pas marcher. (Une union finie de fermés étant fermée.)
A+
Vendredi, une intersection de fermés est toujours un fermé ...
Ici, tu t'es trompé, l'intersection est le singleton {1}.
C'est l'union qui donne ce que tu annonces.
a+
:(
Bon, je vais me reposer. Désolé !
Bonjour, romu.
Je choisis:
Pour tout n, A_n est une réunion finie d'intervalles fermés. Pourtant, l'intersection des A_n est égale à l'ensemble des entiers naturels N, qui n'est pas une réunion finie d'intervalles fermés.
Donc, il y a un problème. Pourquoi avais-tu besoin de ce résultat?
est fermé et ouvert
est ouvert et fermé
Toute suite convergente de points de converge dans
Pour l'ensemble vide, c'est pareil ! C'est la suite constante vide.
Et toute boule centrée en un point du vide est vide, donc contenue dans le vide.
C'est pas trop space ?
(on peut aussi passer au complémentaire)
Pour hatimy: un contre-exemple avec des "vrais" intervalles fermés.
Tous les A_n sont des réunions finies d'intervalles fermées. L'intersection des A_n est égale à la réunion de l'ensemble des 1/n, avec n naturel non nul et de {0}. Ce n'est pas une réunion finie d'intervalles fermés
Toujours pour hatimy:
Je pense que tu seras très intéressé lorsque tu étudieras la topologie. En attendant, quelques résultats élémentaires sur la topologie de R.
On dit qu'une partie A est un ouvert de R si c'est une partie de R et si pour tout élément a de R, il existe r>0 tel que ]a-r,a+r[ est inclus dans A. Tu n'auras pas de mal à démontrer que R est ouvert, ainsi que tous les intervalles ouverts.
On dit qu'une partie A est un fermé de R si c'est une partie de R et si le complémentaire de A est une partie ouverte de R. Là aussi, il n'est pas difficile de montrer que les intervalles [a,+ l'infini[ sont des parties fermées de R.
R barre n'est pas une partie de R. Ce n'est donc ni un ouvert de R ni un fermé de R.
Je n'aborderai pas la topologie de R barre
R est fermé n'a pas de sens.
R est fermé dans R, mais c'est trivial.
La fermeture ou l'ouverture (ou ni l'un ni l'autre) sont des propriétés relatives à l'espace dans lequel on se place.
Si tu dis que F est fermé dans X, ca signifie que dès que tu as une suite d'éléments de F qui converge dans X, sa limite est dans F.
Si tu as X=F la propriété s'énonce ainsi
Dès que l'on a une suite qui converge dans X, elle converge dans X.
C'est une trivialité, non?
Bien sur que c'est trivial ! (ici on se plaçait dans R évidemment)
Mais si tu demandes à un étudiant de montrer que l'ensemble vide
est ouvert dans R, il preferera surement passer au complementaire
et utiliser le fait, trivial, que R est ferme (dans lui meme).
Si tu lui demandes de montrer que le vide est fermé, il aura peut-etre
le reflexe de faire pareil...
salut tout le monde, j ai disparu quelques temps
je lis tous les posts, et je vais essayer de vous répondre.
Merci beaucoup en tout cas pour votre sollicitude 
perroquet >>
En fait je me suis posé le problème suivant:
Soit tel que les élements de
sont les réunions finies et intersections quelconques d'intervalles fermés de
.
Je conjecture que tout fermé de pour la topologie usuelle (ie les ouverts de
sont unions d'intervalles ouverts) appartiennent à
.
Alors je commence ainsi :
Soit F un fermé de .
Notons alors U son complémentaire ouvert dans et
une famille d'intervalles ouverts de
telle que:
.
On a donc , qui est donc une intersection quelconque d'union finie d'intervalles réels fermés. Et là je bloque pour montrer que
.
En résumé,
est fermé et ouvert dans
, pour n'importe quelle topologie considérée sur
.
est fermé et ouvert dans
.
Si on définit la relation d'ordre sur :
si ou bien x et y
avec (y-x) positif, ou bien
, ou bien
,
puis qu'on munit une topologie associée à cet ordre sur ,
alors est ouvert dans
,
vu que chaque point de peut etre contenu dans un intervalle réel ouvert.
Mais n'est plus fermé dans
,
vu que toute suite de réels qui tend vers , ou qui tend vers
sont convergentes dans
,
tandis que leur limite ne reste pas dans .
Oui, par exemple, tu considères x_n=n qui converge dans R barre, qui est toujours dans R, mais dont la limite n'est pas dans R barre.
Une remarque:
Je ne sais plus si R barre inclus les deux infinis ou juste un seul. En fait, on peut toujours ajouter un seul élément à un ensemble localement compact pour le rendre compact.
Tout ca pour dire, que tu peux considérer un seul infini et l'ajouter à R pour le compactifier.
Je ne sais plus si c'est le cas de R barre.
a+
il me semble que si on compactifie avec un seul point à l'infini,
on obtient l'espace projectif compact ,
qui est homéomorphe à .
Et R barre est homéomorphe à [-1,1] muni de la topologie de l'ordre.
R barre est une compactification de R avec deux points à l'infini bien distinct.
"Il est à noter que la droite projective réelle n'est pas équivalente à la droite réelle achevée, où une distinction est faite entre + ∞ et -∞."
pris sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Droite_projective .
bonne nuit 
Bonjour,
Je suis tombe sur ce post par hasard.
Mais si tu demandes à un étudiant de montrer que l'ensemble vide
est ouvert dans R, il preferera surement passer au complementaire
et utiliser le fait, trivial, que R est ferme (dans lui meme).
On peut egalement voir cela comme une definition.
(Gostiaux) On appelle espace topologique T tout couple (E,O) forme d'un ensemble E et d'une partie O de P(E), dont les elements sont appeles ouverts, et verifiant :
1.
et E sont des ouverts
2. toute reunion d'ouverts est en ouvert
3. toute intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert.
Ensuite, on verifie que le fait de choisir comme ouverts sur R (ou sur tout ensemble totalement ordonne) les reunions d'intervalles ouverts constitue bien une topologie.
Sauf erreur.
Nicolas
Moi non plus je ne l'avais pas vu. Tu as raison Nicolas; et l'ensemble tout entier sont ouverts par définition, donc pas question de le démontrer!
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