Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Urrgentissime : injection surjection bijection

Posté par buse (invité) 02-11-05 à 17:32

Bonjour , j'ai de gros soucis au niveau de plusieurs exos
alors : on pose ::[+1;+ infini[ --> R+ avec g(x) = x+ 1/x
montrer g inective mais pas surjective
Bah je pose x et x' et jessaye de motnrer ke( g(x) - g(x')=0 (ie) x+1/x -x'-1/x' =0) abouti forcement a x=x' mais j'y arrive pas si qqu peut m'apporter son aide o niveau des calculs
pour la non surjectivité je pense pouvoir trouver un exemple tt seul
ensuite : Soit f: E --> E,une application verifiant f o f = f. Prouver le resultat suivant : si f est injective ou surjective, alors necessairement f) IdE, (ie) quelque soit x appartenant a E, f(x) =x
la je n'ai aucune idée, pa meme un point de depart alors tte aide sera la bienvenue
Merci pour votre aide

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 02-11-05 à 18:01


Pour montrer que l'égalité x+1/x -x'-1/x'=0 aboutit forcément a x=x', tu peux la multiplier par x et résoudre un polynôùe du second degré en x.

Mais il est plus simple de montrer que g est strictement croissante....

  

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 02-11-05 à 18:03


Si f o f = f et si f est injective alors f=Id puisque que pour tout x on a  
f(f(x))=f(x) et si f injective alors f(a)=f(b) => a=b.

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 02-11-05 à 18:06


Supposons f o f surjective. Soit y dans E. Il existe x tel que y=f(x). Donc
f(y) = f(f(x)) = f(x) = y.

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 02-11-05 à 18:09


Vous savez quoi ?

J'ai un vague souvenir (pas sûr) que l'implication fof=f => f=Id pour f fonction de [0,1] dans [0,1] est vraie sans autre hypothèse sur f (ou peut-être seulement f continue ?)

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurUrrgentissime : injection surjection bijection 02-11-05 à 18:26

Bonjour buse;
1)
(*)Tu as en effet 3$\fbox{\forall x,x'\ge1\\g(x)-g(x')=(x-x')+(\frac{1}{x}-\frac{1}{x'})=(x-x')-\frac{x-x'}{xx'}=(x-x')(1-\frac{1}{xx'})} d'où 3$\fbox{\forall x,x'\ge1\\g(x)=g(x')\Longrightarrow ou\{{x-x'=0\\1-\frac{1}{xx'}=0}\Longrightarrow ou\{{x=x'\\xx'=1\Longrightarrow x=x'} car il faut comprendre que les deux réels x et x' étant tous les deux supérieurs ou égaux à 1,leur produit ne peut valoir 1 que s'ils sont tous les deux égaux à 1
g est donc bien injective.
(*)Pour voir que g n'est pas surjective tu peux remarquer que 3$\fbox{\forall x\ge1\\x+\frac{1}{x}\ge2} et donc que 1 par exemple n'a pas d'antécédent par g.
2)
(*)Supposons f injective vu que pour tout x\in E , x et f(x) ont m^me image par f on a nécéssairement que 4$\fbox{\forall x\in E\\f(x)=x}.
(*)Supposons f surjective tout élément x\in E a donc au moins un antécédent x' par f c'est à dire que f(x')=x et en composant par f que f(f(x'))=f(x) et comme f(f(x'))=fof(x')=f(x') tu vois que 4$\fbox{\forall x\in E\\f(x)=x}.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Urrgentissime : injection surjection bijection 03-11-05 à 03:08

Bonsoir;

J'ai un vague souvenir (pas sûr) que l'implication fof=f => f=Id pour f fonction de [0,1] dans [0,1] est vraie sans autre hypothèse sur f (ou peut-être seulement f continue ?)

Il n'est pas vrai que 4$\fbox{et\{{f{:}[0,1]\to[0,1]\hspace{5}continue\\fof=f}\Longrightarrow4$\fbox{f=Id_{[0,1]}}
pour s'en convaincre prendre f constante (par exemple f(x)=1 pour tout x\in[0,1]) on a bien que 4$\fbox{et\{{f{:}[0,1]\to[0,1]\hspace{5}continue\\fof=f} et pourtant 4$\fbox{f\neq Id_{[0,1]}}
Je crois que l'hypothése de l'injection ou la surjection de f est nécéssaire pour conclure.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 03-11-05 à 08:53


Alors il faut ajouter l'hypothèse "f non constante" ou p-ê "f(0)=0 et f(1)=1".

Si si si... je me souviens que j'ai fait cet exo en maths sup.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Urrgentissime : injection surjection bijection 03-11-05 à 15:08

Bonjour;
Alors il faut ajouter l'hypothèse "f non constante" ou p-ê "f(0)=0 et f(1)=1".
Si si si... je me souviens que j'ai fait cet exo en maths sup.

Eh bien ça ne marche pas non plus : considérer la fonction 5$\fbox{f{:}[0,1]\to[0,1]\\x\to\{{x,x\in\mathbb{Q}\\0,sinon}
On a bien 4$\fbox{f(0)=0\\f(1)=1\\fof=f} et pourtant 4$\fbox{f\neq Id_{[0,1]}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 03-11-05 à 16:14


Bien vu!

Donc je pense que les hypothèses sont

- f fonction de [0,1] dans [0,1] continue non constante telle que fof=f

(ou alors "f(0)=0 et f(1)=1" au lieu de "f non constante").

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Urrgentissime : injection surjection bijection 03-11-05 à 17:28

Bonjour;

(*)Donc je pense que les hypothèses sont
- f fonction de [0,1] dans [0,1] continue non constante telle que fof=f

non plus prendre 5$\fbox{f{:}[0,1]\to[0,1]\\\{{x\to\frac{1}{2}\hspace{5},\hspace{5}0\le x\le\frac{1}{2}\\x\hspace{5}sinon}
tu as 4$\fbox{f\hspace{5}continue\hspace{5},\hspace{5}non\hspace{5}constante\\fof=f} et pourtant 4$\fbox{f\neq Id_{[0,1]}}

(*)Si 5$\fbox{f{:}[0,1]\to[0,1]\hspace{5}continue\\fof=f\\f(0)=0\hspace{5},\hspace{5}f(1)=1} alors f est surjective (théorème des valeurs intermédiaires)

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 03-11-05 à 18:04


Eh bien bravo....  

Pour ton dernier point, tu as raison aussi... donc sous ses hypothèses on a bien f=Id.  Mais je me souviens qu'on l'a démontré autrement quand j'étais en sup, sans passer par la surjectivité et sans utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Merci à toi!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !