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Urrgentissime : injection surjection bijection

Posté par buse (invité) 02-11-05 à 17:32

Bonjour , j'ai de gros soucis au niveau de plusieurs exos
alors : on pose ::[+1;+ infini[ --> R+ avec g(x) = x+ 1/x
montrer g inective mais pas surjective
Bah je pose x et x' et jessaye de motnrer ke( g(x) - g(x')=0 (ie) x+1/x -x'-1/x' =0) abouti forcement a x=x' mais j'y arrive pas si qqu peut m'apporter son aide o niveau des calculs
pour la non surjectivité je pense pouvoir trouver un exemple tt seul
ensuite : Soit f: E --> E,une application verifiant f o f = f. Prouver le resultat suivant : si f est injective ou surjective, alors necessairement f) IdE, (ie) quelque soit x appartenant a E, f(x) =x
la je n'ai aucune idée, pa meme un point de depart alors tte aide sera la bienvenue
Merci pour votre aide

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 02-11-05 à 18:01


Pour montrer que l'égalité x+1/x -x'-1/x'=0 aboutit forcément a x=x', tu peux la multiplier par x et résoudre un polynôùe du second degré en x.

Mais il est plus simple de montrer que g est strictement croissante....

  

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 02-11-05 à 18:03


Si f o f = f et si f est injective alors f=Id puisque que pour tout x on a  
f(f(x))=f(x) et si f injective alors f(a)=f(b) => a=b.

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 02-11-05 à 18:06


Supposons f o f surjective. Soit y dans E. Il existe x tel que y=f(x). Donc
f(y) = f(f(x)) = f(x) = y.

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 02-11-05 à 18:09


Vous savez quoi ?

J'ai un vague souvenir (pas sûr) que l'implication fof=f => f=Id pour f fonction de [0,1] dans [0,1] est vraie sans autre hypothèse sur f (ou peut-être seulement f continue ?)

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurUrrgentissime : injection surjection bijection 02-11-05 à 18:26

Bonjour buse;
1)
(*)Tu as en effet 3$\fbox{\forall x,x'\ge1\\g(x)-g(x')=(x-x')+(\frac{1}{x}-\frac{1}{x'})=(x-x')-\frac{x-x'}{xx'}=(x-x')(1-\frac{1}{xx'})} d'où 3$\fbox{\forall x,x'\ge1\\g(x)=g(x')\Longrightarrow ou\{{x-x'=0\\1-\frac{1}{xx'}=0}\Longrightarrow ou\{{x=x'\\xx'=1\Longrightarrow x=x'} car il faut comprendre que les deux réels x et x' étant tous les deux supérieurs ou égaux à 1,leur produit ne peut valoir 1 que s'ils sont tous les deux égaux à 1
g est donc bien injective.
(*)Pour voir que g n'est pas surjective tu peux remarquer que 3$\fbox{\forall x\ge1\\x+\frac{1}{x}\ge2} et donc que 1 par exemple n'a pas d'antécédent par g.
2)
(*)Supposons f injective vu que pour tout x\in E , x et f(x) ont m^me image par f on a nécéssairement que 4$\fbox{\forall x\in E\\f(x)=x}.
(*)Supposons f surjective tout élément x\in E a donc au moins un antécédent x' par f c'est à dire que f(x')=x et en composant par f que f(f(x'))=f(x) et comme f(f(x'))=fof(x')=f(x') tu vois que 4$\fbox{\forall x\in E\\f(x)=x}.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Urrgentissime : injection surjection bijection 03-11-05 à 03:08

Bonsoir;

J'ai un vague souvenir (pas sûr) que l'implication fof=f => f=Id pour f fonction de [0,1] dans [0,1] est vraie sans autre hypothèse sur f (ou peut-être seulement f continue ?)

Il n'est pas vrai que 4$\fbox{et\{{f{:}[0,1]\to[0,1]\hspace{5}continue\\fof=f}\Longrightarrow4$\fbox{f=Id_{[0,1]}}
pour s'en convaincre prendre f constante (par exemple f(x)=1 pour tout x\in[0,1]) on a bien que 4$\fbox{et\{{f{:}[0,1]\to[0,1]\hspace{5}continue\\fof=f} et pourtant 4$\fbox{f\neq Id_{[0,1]}}
Je crois que l'hypothése de l'injection ou la surjection de f est nécéssaire pour conclure.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 03-11-05 à 08:53


Alors il faut ajouter l'hypothèse "f non constante" ou p-ê "f(0)=0 et f(1)=1".

Si si si... je me souviens que j'ai fait cet exo en maths sup.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Urrgentissime : injection surjection bijection 03-11-05 à 15:08

Bonjour;
Alors il faut ajouter l'hypothèse "f non constante" ou p-ê "f(0)=0 et f(1)=1".
Si si si... je me souviens que j'ai fait cet exo en maths sup.

Eh bien ça ne marche pas non plus : considérer la fonction 5$\fbox{f{:}[0,1]\to[0,1]\\x\to\{{x,x\in\mathbb{Q}\\0,sinon}
On a bien 4$\fbox{f(0)=0\\f(1)=1\\fof=f} et pourtant 4$\fbox{f\neq Id_{[0,1]}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 03-11-05 à 16:14


Bien vu!

Donc je pense que les hypothèses sont

- f fonction de [0,1] dans [0,1] continue non constante telle que fof=f

(ou alors "f(0)=0 et f(1)=1" au lieu de "f non constante").

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Urrgentissime : injection surjection bijection 03-11-05 à 17:28

Bonjour;

(*)Donc je pense que les hypothèses sont
- f fonction de [0,1] dans [0,1] continue non constante telle que fof=f

non plus prendre 5$\fbox{f{:}[0,1]\to[0,1]\\\{{x\to\frac{1}{2}\hspace{5},\hspace{5}0\le x\le\frac{1}{2}\\x\hspace{5}sinon}
tu as 4$\fbox{f\hspace{5}continue\hspace{5},\hspace{5}non\hspace{5}constante\\fof=f} et pourtant 4$\fbox{f\neq Id_{[0,1]}}

(*)Si 5$\fbox{f{:}[0,1]\to[0,1]\hspace{5}continue\\fof=f\\f(0)=0\hspace{5},\hspace{5}f(1)=1} alors f est surjective (théorème des valeurs intermédiaires)

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
stokastikre : Urrgentissime : injection surjection bijection 03-11-05 à 18:04


Eh bien bravo....  

Pour ton dernier point, tu as raison aussi... donc sous ses hypothèses on a bien f=Id.  Mais je me souviens qu'on l'a démontré autrement quand j'étais en sup, sans passer par la surjectivité et sans utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Merci à toi!


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