Bonjour,

50+25+12+6+3+1=97 ?

Philoux

>galamo

tu veux parler de l'exposant de 2 dans 100! ?

Philoux

Sauf erreur

l'exposant de 2 pour le nombre N! est :

_{i=Ent( ln(N)/ln(2) )}
   Ent( N/2ⁱ )
ⁱ⁼¹

où Ent() représente la fonction partie entière.

Philoux

juste pour l'info , Ent(x) s'écrit [x] en notation française.
et partie fractionnaire de x s'écrit {x}, donc [x]+{x}=x
tout ça en notation française bien sûr
c t juste pour l'info

Merci Yalcin

la partie fractionnaire peut-elle être négative ?

[x]+{x}=x convient-il pour x < 0 ?

Philoux

Par définition la partie fractionnaire est toujours positive, mais l'égalité reste vraie...
Par contre si x n'est pas entier ent(-x)=-ent(x) est faux! En réalité ent(-x)=-ent(x)-1

Question subsidiaire pour les amateurs (un classique): combien y a-t-il de zéros à la fin de n! et quel est le chiffre qui précède le premier zéro?

Chèrs collègues bonsoir
tout juste pour dire que je suis satisfait des réponses
proposées par vous,vos méthodes ont été fantastiques
veuillez agréer l'expressions de mes salutions distingués, a plus

Bonjour

Une intervention trés interressante de Belge-FDLE ici


Jord

Bonjour,

re : utilisation de arithmétique        
posté par : piepalm
posté le 30/08/2005 à 20:54

...

Question subsidiaire pour les amateurs (un classique): combien y a-t-il de zéros à la fin de n! et quel est le chiffre qui précède le premier zéro?

...

Piepalm, peux-tu nous fournir une solution détaillée ?

Merci à l'avance,

Philoux

Le nombre de zéros de n! est égal à l'exposant de 5 dans la décomposition en facteurs premiers (le facteur 2 étant plus fréquent). Comme vu plus haut pour 2, cet exposant vaut e=E(n/5)+ E(n/5^2)+... +E(n/5^k) avec 5^k<n<5^(k+1)
Soit f(n) le produit de tous les nombres inférieurs ou égaux à n non divisibles par 5.
On a l'égalité n!= f(n)*E(n/5)!*5^E(n/5)
En itérant, on obtient n!=f(n)*f(E(n/5))*...*f(E(n/5^k)*5^e ou encore
n!=f(n)*...*f(E(n/5^k)*10^e/2^e
Les valeurs successives de f modulo 10 sont périodiques de période 10: entre 10p et 10p+9 elles sont 6,6,2,6,4,4,4,8,4,6; de même, pour les valeurs de 4q à 4q+3 les puissances de 2 valent 6,2,4,8. Pour déterminer le dernier chiffre non nul, il suffit donc de calculer le produit des valeurs de f et de diviser (en congruence modulo 10) par 2^e, sachant que ce nombre sera pair, puisque les facteurs 2 sont pléthoriques.
Un exemple: pour n=2005: e=401+80+16+3=500
f(2005)*f(401)*f(80)*f(16)*f(3)=4*6*6*4*6=6 (mod 10). Comme 2^500=6 et que 6/6=6
le dernier chiffre non nul de 2005! est 6
(on travaille en fait dans le sous-groupe des classes paires de Z/10Z dont 6 est élément neutre)

Merci piepalm

Philoux