Bonjour,

si c'est k qui varie, alors pour tout k supérieur ou égal à 1, la somme est strictement plus grande que 2 puisque a/b et b/a sont positifs.Pour k=0 on trouve 2, qui est donc la valeur minimale.

Si c'est k qui est fixé et si on cherche le minimum lorsque a et b varient, pose a/b= x, d'où b/a=1/x et étudie les variations de f(x)= (1+x)^k+(1+ 1/x)^k sur R+.

Salut
Bon on fixe K
on aura:

je vois que c'est peu compliqué à étudier ^^' mais je vais essayer
Merci

salut,

tu peux remarquer que f(x) = f(1/x)
vu les limites de f elle descend puis remonte au moins une fois
de plus x1/x est symétrique par rapport à y=x (ou a=b ie x=1)

Salut carpediem,

je ne comprends pas bien ton raisonnement final pour la symétrie par rapport à y=x: qu'en déduis-tu sur f?

La dérivée se factorise en

et elle est positive ssi x>1 donc le minimum est atteint lorsque x=1, soit lorsque a=b.

Le minimum de la somme est donc

salut Tigweg

la courbe y=1/x est symétrique par rapport à la 1° bissctrice y=x et f est "symétrique" par raport à 1/x

(en fait j'utilise la même lettre x pour désigner 2 objets differents)

par composée f est symétrique par rapport y=x (plutot a=b) donc x=1

... et donc je trouve comme toi
mais effectivement la dérivée se factorise et on trouve aisement son signe et le minimum

... donc en fait elle descend puis remonte qu'une seule fois d'où un seul lieu pour le minimum

Hum...Ce n'est pas parce qu'une fraction rationnelle de 2 variables est symétrique qu'elle atteint son minimum lorsque les inconnues prennent la même valeur a priori...

Or ce que tu dis avec tes symétries, si j'interprète bien, revient à dire que notre somme est symétrique par rapport à a et b!

A mon avis, il manque donc quelque chose à ton raisonnement!Mais peut-être n'ai-je pas tout suivi, pourrais-tu rédiger ça un peu plus rigoureusement?

je sais ça manque un peu de rigueur et je travaille beaucoup à l'intuition (et en visuel)
mais ce que je peux dire c'est que la fn inverse envoie bijectivement ]0,+[ sur lui-même
et donc f(a/b)=f(b/a) et F est symétrique en a et b:F(a,b)=F(b,a)(F: la fonction de départ en fonction de a et b)
or 1/x et x se coupent en 1 donc a=b

mais je pense qu'un raisonnement purement géométrique (et rigoureux est possible)

visuellement :

F(a,b) = F(b,a)l'axe de symétrie de f est b=a
F(a,b) = F(1/a,1/b)"l'axe" de symétrie est b=1/a
l'intersection des deux axes de symétries est centre de symétrie donc a=1/a et a=1
de plus F(ka,kb)=F(a,b)donc a=b

bof...

Ce que je ne comprends pas, c'est le lien que tu établis entre "posséder des éléments de symétrie" et "avoir un extremum".

f est continue de (0,oo) à (oo,oo) donc elle admet un minimum
ce minimum est symétrique par rapport à a=b et ab=1
donc par rapport à leur intersection (où j'appelle "symétrique" du point M(a,b) par rapport à ab=1 le point M'(1/a,1/b)) c'est à dire a=b=1) or F est hoothétique donc a=b

en fait il y a une fonction de 2 variables et une fonction à 1 var

autre question: (c'est un peu comme je le vois):existe-t-il une distance d sur E={a>0,b>0} telle que d(0,1)=d(1,oo
....

salut Tigweg

mon f c'est pas l'inverse c'est (1+x)^k+(1+1/x)^k

donc il y a un minimum mais effectivement je bute sur l'unicité (mise à part le fait que f est bijective sur ]0,1] ce que tu as démontrer avec la dérivée)
c'est le pb de bien voir F dans l'espace et f dans le plan
et il me semble que f est la restrction de F à la surface ab=1

... mais je n'y arrive toujours pas géométriquement...

et merci pour d, faut que je réfléchisse la-dessus car les fn inverse trigo ça fait loin)

Salut carpediem,

ce que je disais par rapport à 1/x était un contre-exemple montrant que ton argument "la fonction est continue sur R+* donc y admet un minimum" n'est pas juste.

Pas de quoi pour d, mais je ne vois toujours pas le rapport avec le sujet initial!Il y en a un?

f a la même limite en 0 et en +et c'est + donc elle descend (parce que par ex f(0,5) est fini) à partir de 0 et elle doit bien remonter à nouveau
elle est continue donc elle a un minimum
1/x ne vérifie pas f(+oo)=+oo donc effectivement on ne peut pas conclure sur un minimum

la distance d c'était juste pour te montrer comment je "voyais" plus ou moins {a>0,b>0} symétrique par rapport à ab=1

OK!