Bonjour tout le monde du Forum.
Une question qui m'a tant géné est la suivante: Y-a-t-il une relation entre les valeurs propres d'un opérateur et celle de son adjoint,
Plus précisément:
Etant donné un opérateur linéaire T d'un espace de Hilbert H dans lui meme.
si on se donne un vecteur propre u de T assocé à la valeur propre . l'opérateur adjoint de T est noté T*.
Ma question est: Est ce que est forcément une valeur propre de T*?
Ce que j'ai trouvé est que la réponse est positive. En effet:

Si je suppose que la valeur propre de T* associée à u est j'aurais:
D'ou l'égalité et par suite d'ou .

Mais ce qui me gène est que dans Hirsh-Lacombe "Elément d'analyse fonctionnelle" J'ai trouvé la remarque suivante:
Si est une valeur propre de T , n'est pas forcément une valeur propre de T* (sans donner un contre exemple).
quelqu'un peut-il m'aider? et merci bien d'avance