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valeur propre, multiplicité, diagonalisation.
Bonjour tout le monde. Voila une petite question qui me turlupine car mon cours n'est pas très clair là dessus.
On a une matrice carré (disons de dimension 4 pour fixer les idées). Je calcule son polynôme caractéristique et trouve disons 2 racines par exemple. On va dire 1 et 3 sont racines. Puis on suppose que 1 est racine double et 3 racine simple. Donc la matrice n'admet que deux valeurs propres et uniquement deux.
Est-je le droit de dire tout de suite que Dim V1=2 et dim V3=1 (Vi est l'espace propre associé à la valeur propre i) ? En gros, si j'ai calculer les valeur propres leur multiplicité sera la dimension de l'espace propre ? vrai ou faux ? Et inversement si je sais que 2 esr valeur propre et que Dim V2=2 alors forcement 2 est valeur propre de multiplicité 2 ? vrai ou faux encore une fois ?
Dernière question, dans l'exemple précedent (M matrice carré de dimension 4 et deux valeurs propres 1 de multiciplicité deux et 3 de multiplicité 1) alors M n'est pas diagonalisable car les espaces propres sont en sommes directs et Dim V1
V3=3 or dim M=4. Donc une base formé de vecteur propre ne pourra jamais etre une base de l'endomorphisme réprésenté par M. Vrai ou faux ?
Merci d'avance de votre aide. Bonne journée. à bientot
Bonjour sasaki ! 
L'exemple que tu prends est mauvais (dans le sens où ce n'est pas possible ) en réponse à tes questions :
l'ordre de multiplicité majore la dimension des sous espace propre.
Donc première réponse : faux.
Deuxième : faux, mais tu sais que son ordre de multiplicité est au moins 2.
Bonjour,
D'abord, pour commencer, ton exemple ne correspond à rien car un polynôme de degré 4 a toujours 4 racines dans 
(comptées avec multiplicité). Et s'il a 1 comme racine double et 3 comme racine simple, il y a forcément une autre racine (réelle si la matrice est réelle).
Ensuite la relation entre multiplicité de la valeur propre et dimension du sous-espace propre associé, c'est que la dimension est inférieure ou égale à la multiplicité, et supérieure ou égale à 1. Toutes les valeurs dans cette intervalle sont possibles.
Ok merci d'avoir répondu si vite.
Cela veut dire que en td dans un exercice j'ai ça:
dim Ker A = n-1.
V0=Ker A. Donc 0 est valeur propre de multiplicité n-1.
C'est faux alors. On devrait écrire i multilicité de 0. on a: 1
in-1 c'est bien ça ?
Et si j'ai une valeur propre 
de multiplicité 
je doit écrire: 1 dim V
Oui mais dans ton exemple 0 est d'ordre au moins n-1 et si elle était d'ordre n, A serait nulle donc
pas grand intérêt...donc c'est faux mais "pas vraiment".
On devrait écrire i multilicité de 0. on a: 1
in c'est bien ça ?Non.
Et si j'ai une valeur propre de multiplicité je doit écrire: 1
dim VOui.
Si tu confrontes tes deux affirmations tu verras quelles sont contradictoires.
On va y arriver.
Alors on à ça:
(1) Si on a une valeur propre de multiplicité alors: 1dim V.
(2) Si on a dim V=n alors: la multiplicité de la valeur propre est supérieur où égale à n.
C'est bien ça ?
Ok merci. Maintenant c'est clair dans ma tête et ça m'évitera de dire n'importe quoi le jour du partiel.
En fait le problème c'est que en td le prof fait tout le temps le raccourci dim V=x alors est valeur propre de multiplicité x. En fait, il faudrait rajouter des arguments pour dire ça (j'avais bien compris tout à l'heure que dans l'exemple on ne pouvait pas avoir n comme multiplicité).
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