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valeurs d'adhérences de suites sin(αx) et cos(αx)
Bonjour,
J'ai un DM à rendre et j'aurais besoin d'aide pour les questions suivantes:
Soit x un réel compris entre -1 et 1. On choisit θ tel que cos(θ )=x.
1)Montrer que l'ensemble {2πn + mα, m, n entiers relatifs} est dense dans R. (α est un réel fixé tel que α/π n'est pas rationnel)
2)En déduire qu'il existe une suite d'entiers (pn)telle que cos(pn*α )tend vers x.
J'ai raisonné par l'absurde pour la première question, mais je n'arrive pas à répondre à la deuxième. Il suffirait de montrer que pn*α tend vers θ, mais je ne vois pas le rapport avec la question 1...
Merci d'avance pour votre aide!
Bonjour spirale
As-tu vu en cours ou en exo de quelle forme étaient les sous-groupes de ?
cela pourrait aider pour le question 1).
Kaiser
Bonjour kaiser,
Merci d'avoir répondu! Je n'ai pas vu en cours de quelle forme sont les sous-groupes de R, mais d'après les questions précédentes ils sont soit denses soit de la forme αZ. En fait, je pense avoir trouvé la question 1 (en raisonnant par l'absurde), mais c'est surtout la deuxième question qui me pose problème: je ne vois pas du tout le lien avec les deux questions. De quelle manière peut-on trouver une suite d'entiers en utilisant le fait que {n2π+mα, m,n entiers relatifs} est dense dans R?
Sur ce, merci beaucoup et à bientôt.
Spirale.
En fait, la 2 et la 1 sont pratiquement équivalente.
écrit la densité en considérant les intervalles du type
Kaiser
Et ensuite, on montre par encadrement que la suite tend vers x? Mais je ne vois toujours pas comment faire apparître le cosinus...
Spirale
Bonjour,
En utilisant la densité, j'obtiens:
n 
*, il existe n0 et m0 {2n
+m
,m,n 
} tels que:
- 1/n < 2n0 + m0*<+1/n
Comme le terme encadré ne dépend pas de n,je ne vois pas comment faire apparaître une suite d'entiers...
Spirale.
Bonjour
Justement, ton terme encadré dépend de n car et
dépendent de n.
Pour mieux voir cette dépendance, appelle les plutôt et
.
Kaiser
Ah oui, merci! pn et qn sont bien des suites d'entiers.Dans ce cas, j'obtiens:
-1/n < 2qn + pn* < + 1/n
Par passage à la limite, 2qn + pn* tend vers
On a alors: cos(pn*)=cos(qn*2*) tend vers x! Merci beaucoup! 
Une dernière question : comment choisir la suite (pn) de façon à ce qu'elle soit strictement croissante?
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