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Valeurs pour matrice diagonalisable

Posté par
martizic
26-10-23 à 17:44

Bonjour,
Voici un ennoncé avec lequel j'ai du mal...

Soient a,b,c ∈ C,

A = \begin{pmatrix} a &1 &c \\ 0& 2 &b \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
Sans diagonaliser A, déterminer pour quelles valeurs de a,b,c A est diagonalisable?


Sans diagonaliser, je ne sais pas comment faire... Avez-vous des indices?

Merci!

Posté par
lake
re : Valeurs pour matrice diagonalisable 26-10-23 à 17:53

Bonjour,
Un calcul de déterminant  ?

Posté par
martizic
re : Valeurs pour matrice diagonalisable 26-10-23 à 17:57

Bonjour, si je calcule le déterminant, puis les valeurs propres, puis j'utilises le théorème du rang... cela compte comme diagonaliser la matrice non?
Or, dans l'ennoncé il est indiqué "sans diagonaliser la matrice"

Que faire svp?

Posté par
lake
re : Valeurs pour matrice diagonalisable 26-10-23 à 18:10

Voyons, si le déterminant est non nul, ta matrice est diagonalisable, non ?

Posté par
lake
re : Valeurs pour matrice diagonalisable 26-10-23 à 18:25

>>martizic,
Je me suis aventuré sur un terrain que je connais mal.
Attendons d'autres intervenants plus calés que moi.

Posté par
thetapinch27
re : Valeurs pour matrice diagonalisable 26-10-23 à 18:47

Bonsoir,

Quelques éléments :
* A est triangulaire donc le polynôme caractéristique se calcule facilement. Que vaut-il ?
* Ce polynôme possède une racine double (L=2) et une racine (L=a). Il est scindé sur R, c'est déjà un bon début.
* Le point "délicat" c'est que 2 est racine double voire triple (selon a)
    - Le cas "triple" est facile car alors à quelle matrice serait semblable A ?
    - Le cas "double" peut se gérer en regardant la dimension du noyau de A-2*I en fonction des valeurs de b et c.

Bon courage

Posté par
Camélia Correcteur
re : Valeurs pour matrice diagonalisable 27-10-23 à 15:26

Bonjour

Voilà un deuxième exo qui demande vraiment des connaissances sur le rapport entre diagonalisation et polynôme caractéristique.
Je renouvelle mon conseil: commence par apprendre le cours.



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