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Niveau Reprise d'études
valeurs prises par la fonction cosinus
Posté par sgu35
Bonjour, je me demande comment montrer que la fonction cosinus prend toutes ses valeurs entre -1 et 1.
malou edit > ** changement de niveau**
rebonjour
par définition du cosinus,
i.e. abscisse d'un point M situé sur le cercle trigo (de centre ... et de rayon ...)
(à lier peut-être à ton autre topic...)
ok le cercle trigonométrique a pour centre O et pour rayon 1.
L'abscisse d'un point M est comprise entre -1 (abscisse de B(-1,0))et 1(abscisse de A(1,0)) et prend toutes ses valeurs entre -1 et 1 car le tracé du cercle trigo est continu (il n'y a pas de cassure).
tu dis "pas de cassure", il me semble que tu penses ici à une surjection... non ?
en effet la fonction cosinus, définie de 
dans [-1;1] est surjective par définition.
i.e. 
y 
[-1;1], 
x , tel que cos(x)=y
ainsi dans l'énoncé, on pourrait même dire :
la fonction cosinus prend toutes les valeurs entre -1 et 1.
d'accord pour:
Citation :
la fonction cosinus prend toutes les valeurs entre -1 et 1.
la fonction cosinus prend toutes les valeurs entre -1 et 1.
par contre, je n'ai pas encore vu les surjections : comment prouve-t-on que la fonction cosinus est surjective?
si tu n'as pas encore étudié injective/surjective/bijective, ne cherche pas à démontrer.
en gros, reformulé,
une fonction de E vers F est surjective ssi tout élément de F (ens. d'arrivée) a au moins un antécédent dans E (ens. de départ).
juste pour info, pour démontrer, on peut :
partir de la définition d'une fonction surjective,
et utiliser ici une propriété du cos. : cos(x)=cos(x + 2k
), k
je dois quitter, et laisse la main si tu as d'autres questions.
bonne suite !
Désolé je ne vois pas vraiment comment faire, nous amène à ne considérer des valeurs du cosinus entre 0 et
mais après...
non, tu oublies le "k"
x + 2k --- k, entier relatif
k peut prendre n'importe quelles valeurs entières (positives ou négatives).
à chaque fois, on fait un ou plusieurs tour(s) complet(s) du cercle, dans le sens positif ou négatif:
on "revient" donc sur le même point du cercle.
ex : lorsque k varie entre -3 et 3
cos(x-6) ---- k=-3
= cos(x-4) ---- k=-2
= cos(x-2) ---- k=-1
= cos(x) ---- k=0
= cos(x+2) ---- k=1
= cos(x+4) ---- k=2
= cos(x+6) ---- k=3
petit conseil amical : avant de poursuivre, pour retrouver les 'automatismes',
revois les bases de la trigo (et du cercle trigo) : cf les liens donnés par Malou
ludique 
je viens de trouver 
fais bouger les curseurs bleu ou vert pour visualiser l'enroulement,
clique aussi sur "changer de graduation"...
tape x = 2.3+2pi...
have fun !
bonjour sgu35
... des liens donnés sur ton autre topic équations cos=cos et sin=sin
Salut,
J'ajoute un petit truc au message de Carita
On peut aussi montrer que la fonction cosinus est continue en utilisant les formules d'addition. Ensuite montrer que (si tu utilises le cercle pour définir le cosinus, il n'y a rien à montrer). Et enfin utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
sgu35 tu es déjà en mathsup ou tu vas rentrer en mathsup?
Voilà les deux formules d'addition :
Citation :
On peut aussi montrer que la fonction cosinus est continue en utilisant les formules d'addition.
On peut aussi montrer que la fonction cosinus est continue en utilisant les formules d'addition.
Comment ça?
Citation :
partir de la définition d'une fonction surjective,
et utiliser ici une propriété du cos. :=cos(x + 2k), k \in \Z)
partir de la définition d'une fonction surjective,
et utiliser ici une propriété du cos. :
Désolé, je ne vois pas du tout comment raisonner.
sgu35 @ 04-06-2021 à 20:35
Voilà les deux formules d'addition :
=\cos\left(a\right) \cos\left(b\right)-\sin\left(a\right) \sin\left(b\right)
\\
\\ \sin\left(a+b\right)=\sin\left(a\right) \cos\left(b\right)+\cos\left(a\right) \sin\left(b\right))
Comment ça?
Voilà les deux formules d'addition :
Citation :
On peut aussi montrer que la fonction cosinus est continue en utilisant les formules d'addition.
On peut aussi montrer que la fonction cosinus est continue en utilisant les formules d'addition.
Comment ça?
Il faut que tu trouves un cours pour t'appuyer dessus ...tout ceci est démontré
La continuité des fonctions cosinus et sinus utilise ces formules et aussi la continuité en 0 cette dermière propriété doit être démontrée ou admise.
Si l'on admet que
Ainsi
or
Ok merci, on démontrerait les formules d'addition en considérant l'exponentielle complexe et en sachant que la partie réelle de l'exponentielle c'est le cosinus, et la partie imaginaire pure c'est le sinus.
Sinon la démonstration de la continuité en 0 du cosinus et du sinus repose sur un encadrement du sin(x) et du cos(x).