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Posté par manu_du_40
Bonsoir,
une question qui m'a été posée à l'oral de l'agrégation interne :
On considère et on suppose que M et 2M sont semblables. Que peut-on dire de M ?
J'ai répondu que si M et 2M sont semblables, alors elles ont les mêmes v.p donc si est v.p de M, alors
est aussi une v.p.
Ainsi, est v.p de M.
Ainsi, (sinon, il y aurait une infinité de v.p distinctes ce qui est impossible en dimension finie). Donc M est nilpotente.
Mais je n'ai pas eu le temps de réfléchir à la réciproque (fin d'épreuve) et en y réfléchissant à nouveau, celle-ci ne me semble pas du tout évidente...
Est-elle seulement vraie ?
Merci d'avance pour vos éclairages.
Manu 
Si f est nilpotent d'indice n, peux tu me donner une base de E construite à partir de f ?
Quelle est la matrice de f dans cette base ?
Quel est l'indice de nilpotence de 2f ?
Conclusion ?
Bonsoir Ulmiere,
si f est nilpotent d'indice n, la famille de vecteurs est une base de E (je la baptise
) et la matrice de f dans
est définie par
où :
si j=i-1
sinon.
2f est aussi nilpotent d'indice n. (même matrice dans ) mais avec des 2 au lieu de 1)
En multipliant chaque vecteur de la base par 1/2, on obtient une base
où la matrice de 2f est la matrice
donc f et 2f sont semblables ? (Bon là je suis un peu moins sûr de la fin du raisonnement).
Une question cependant : pourquoi supposez-vous que l'indice de nilpotence est n ?
Oui c'est correct. Une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire stricte, n'ayant que des 1 sur sa sous-diagonale.
Le nombre de 1 est l'indice de nilpotence de ta matrice moins un.
M et 2M ont meme indice de nilpotence, donc sont semblables à une meme matrice, donc sont semblables.
Bonjour,
Une petite remarque :
Ulmiere @ 07-05-2021 à 02:56
Une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire stricte, n'ayant que des 1 sur sa sous-diagonale.
Le nombre de 1 est l'indice de nilpotence de ta matrice moins un.
Une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire stricte, n'ayant que des 1 sur sa sous-diagonale.
Le nombre de 1 est l'indice de nilpotence de ta matrice moins un.
L'indice de nilpotence n'est pas le nombre de 1 sur la sous-diagonale plus 1. L'indice de nilpotence est la taille du plus grand bloc de Jordan.
Pour un bloc de Jordan de taille
(N.B. : d'habitude les blocs de Jordan ont leurs 1 sur la sur-diagonale, mais je m'adapte à ce qui a été fait précédemment dans le fil).
Bonjour à vous deux ,
merci pour vos éclairages. Cependant, il me reste une petite question.
Pourquoi Ulmiere me faites vous supposer que f est nilpotent d'indice n ?
Si l'indice de nilpotence est strictement inférieur à n, le même raisonnement reste valable ? Ou est-ce que le résultat devient faux si l'endomorphisme n'est pas nilpotent maximal ?
et autre question , quand Ulmiere dit :
Citation :
Une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire stricte, n'ayant que des 1 sur sa sous-diagonale.
Une matrice nilpotente est semblable à une matrice triangulaire stricte, n'ayant que des 1 sur sa sous-diagonale.
Je sais qu'une matrice nilpotente est semblable à une matrice strictement triangulaire mais pourquoi n'aurait-elle que des 1 sur sa sous-diagonale ?
J'ai l'impression que ceci est vrai lorsque l'indice de nilpotence est n (en prenant la base que j'ai donné à 00:59) mais si l'indice n'est plus n, cette base n'en est plus une donc j'ai du mal à faire le lien.
Il semble que tu n'aies encore rien vu à propos de la réduction de Jordan.
Un bloc de Jordan nilpotent est une matrice carrée qui a des zéros partout, sauf la sur-diagonale qui est entièrement composée de 1.
Toute matrice nilpotente est semblable à une matrice diagonale par blocs où les blocs diagonaux sont des blocs de Jordan nilpotents. C'est sa réduite de Jordan, qui est unique à l'ordre des blocs sur la diagonale près. On peut forcer l'unicité en demandant que les blocs de Jordan soient rangés par taille décroissante.
D'accord GBZM, je vous remercie.
En effet, je n'ai jamais vu la Jordanisation (je sais juste que ça existe).
Quand j'étais en prépa, ce n'était pas au programme de MP et quand je suis arrivé en L3, les universitaires faisaient ça en L2.
Du coup, je n'ai jamais réellement été confronté à cela mais je vais essayer de me documenter là dessus.
Merci encore
Manu