Niveau Maths sup

Valeurs propres d endomorphismes

Posté par
lolo5959 11-12-04 à 20:09

Bonsoir,

Je suis bloqué depuis pas mal de temps sur une question d'un exercice:

Soit PK[X] tel que P(u)=0.
Je dois montrer que toute valeur propre de u est racine de P (u est un endomorphisme).

J'ai régardé la réponse de l'exercice, et il est juste marqué de penser à utiliser le théorème de Hamilton-Cayley, ce que j'ai déjà essayé de faire, mais je n'y suis pas arrivé.

Merci beaucoup pour votre aide

Posté par fred86 (invité)re : Valeurs propres d endomorphismes 11-12-04 à 20:29

Bonsoir,
bon la fac est un peu loin mais je me lance quand meme.
Si $\lambda$ est une valeur propre de u associée au vecteur propre x alors $u(x)=\lambda x$ . On démontre alors facilement que $u^2(x)=\lambda^2 x$ et, par une récurrence immédiate que pour tout p $u^p(x)=\lambda^p x$ .
Si $P(X)=a_0+a_1X+...+a_nX^n$ , il vient que :
$P(u)(x)=a_0x+a_1\lambda x+...+a_n\lambda^nx$
or $x \neq 0$ donc $a_0+a_1\lambda +...+a_n\lambda^n=0$
D'où le résultat.
Je le repète,la fac est un peu loin (ou plutot on oublie vite) donc cette solution est a prendre avec precaution ...

Posté par fred86 (invité)re : Valeurs propres d endomorphismes 11-12-04 à 20:49

Cette solution te convient-elle ?

Posté par re : Valeurs propres d endomorphismes 11-12-04 à 21:53

Merci beaucoup fred86!
Oui, cette solution me convient parfaitement

Et je comprends pourquoi justement on m'a fait démontré juste avant que "Si u(x)= alors u^n(x)= ^n*x"

Encore merci et bonne soirée à vous.

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