Salut KKK

e(X) est une variable aléatoire à valeurs entières, donc pour connaitre la loi de e(X), il suffit de calculer ou n est un entier naturel (puisque X est à valeurs positives, e(X) est également à valeurs positives).

Kaiser

Bonjour Kaiser, (et merci)
Si je me laisse guider par  ce que j'ai démontré dans une première partie de mon exo je serais tentée de dire que
P(e(X)=n) = P(X appartenant à [n-1,n]) = F(n-1) - F(n)
mais je ne vois pas du tout pourquoi..
pourrais-tu m'expliquer ?

D'accord
Merci Kaiser
J'ai encore une question
est-ce que le passage :

P[(X<n+1) - (X<n)] = P(X<n+1) - P(X<n) est toujours vrai ?

J'utilise la propriété suivante :

si A et B sont deux événements avec B inclus dans A, alors

Ici, je peux l'utiliser car

Kaiser

J'ai bien fait de te demander car je ne m'en souvenais plus du tout..
Merci pour tout,
J'attaque la suite..

Voici la suite :
On considère d(X) une variable aléatoire appelée partie décimale de X
On cherche la fonction de répartition de d(x) qu'on note phi

Voici ce que j'ai fait :

Soit x un réel appartenant à [0,1[
Soit n un entier naturel
On a d(X)= x+n
D'où :
n < X < x+n
= (X<x+n) - (X<n)

Donc P(d(x) = x) = F(x+n) - F(n) (en procédant de façon similaire que pour la question précédente)

Mais ce qui me gêne dans ce que j'ai fait c'est que je considère juste une valeur de n..non ?

non, toutes les valeurs de n doivent intervenir (tu dois normalement obtenir une somme infini).
Autre chose : fais attention aux inégalités (ca loi de X peut très bien chargé des singletons)

Kaiser

d'accord, en fait ça me donne une série.

Maintenant, on prend pour X une variable aléatoire à valeurs positives ou nulles suivant une loi de paramètre t (t>0)
donc de densité f(x) = te^(-tx) si x est positif ou nul
f(x) = 0 sinon

On me demande de déterminer explicitement la loi de X.
J'ai donc intégrer f
j'obtiens :

P(e(X)=n) = - e^(-t(n+1)) - e^(-tn)

Es-tu d'accord avec moi ?

J'aurais plutôt dit (faute de frappe peut-être ?)

Kaiser

Oui !
Merci
Pour l'espérance, si elle existe j'ai

E(e(X)) = (intégrale de -oo à +oo) de e(x)f(x)dx
Pour prouver l'existence je me donne deux réels  a et b (a<b), j'ai donc :

E(e(X)) = (intégrale de a à b) de e(x)f(x)dx
        = (intégrale de a à b) de e(x)te^(-tx)dx

je pense intégrer par partir mais e(x) me pose problème..quelle est sa primitive ?

je ne conseille pas de faire le calcul ainsi : tu viens de calculer la loi de e(X) qui est à valeurs entières donc tu peux calculer son espérance facilement, à l'aide d'une série.

Kaiser

En fait, tu pourrais faire ce calcul d'intégrale mais ça reviendrait à refaire ton calcul précédent.

Kaiser

est-ce que ça va si je prend la série
(somme de n=0 à +oo) de n P(e(X)=n)
et qu'après je fait des développements limités pour trouver un équivalent du terme général ?

(tout ça pour conclure à la convergence)

c'est bien cette expression. cela dit, ce n'est pas la peine d'utiliser des DL pour montrer la convergence : tu as affaire à "n" multiplié par une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1 strictement, donc pas de problème de ce côté là.
Reste le calcul.

kaiser

la rasion est bien e^(-t) ?

toutafé !

Kaiser

arff..ben je voudrais reconnaître une série dérivée..
ça me donnaerait [1/(1-e^(-t))²] ?

non, en tous cas, je ne trouve pas ça.
Je te conseille de manipuler le terme général : c'est presque une série télescopique.

Kaiser

si j'applqiue la formule pour une suite géométrique j'ai :
(1-[e^(-t)]^(N+1))/(1-(e^(-t)) * N

mais si je procède en calculant pour chaque valeur de n j'en déduit :
N * [ e^(-t) - e^(-t(N+1)) ]

non ça doit être faux parce que sinon elle divergerait..

non, ce n'est pas ça. Regarde :



et maintenant ?

Kaiser

en fait j'ai écrit :
(somme de 0 à N) de nq^n - (somme de 0 à N) de nq^(n+1)    (q = e^(-t))


et de là je peut en tirer des formes connues ?

(je suis désolée

Tu peux en reconnaitre : En séparant la somme (et en laissant les sommes infinies) et factorisant première somme par q et la deuxième par q² (et en enlevant les termes d'ordre 0 qui sont nuls) on obtient :



A ce moment tu peux reconnaitre la dérivée d'une série entière connue.

Sinon, pour revenir à ce que je te disais :

Quand je disais "presque télescopique", c'est qu'il fallait faire apparaitre le "télescopique". Ici, le terme entre crochets est télescopique.

Kaiser

P.S 1 :

Citation :
(je suis désolée

ah ok !
merci de ta patience !
Donc j'ai E(e(X))=(q-q²)/(1-q)²

pour calculer la variance je calcule E(e(X)²) :
j'ai au final :
(somme de 0 à oo) de (n²q^n - n²q^(n+1))
tu es d'accord ?

Me revoilà !

je suis aussi de retour

une somme de produits...ce n'est pas égal au produit des sommes ?

Où veux-tu en venir ?

Kaiser

j'aurais voulu factoriser à l'intérieur de la somme par autre chose que q, mais de toute manière ça ne marche pas, il n'y a pas de forme connue qui apparait.
je continue !

Etant donné qu'il y n², ça veut dire qu'il va y avoir une dérivée seconde.
Or pour une dérivée seconde, on aurait dû avoir n(n-1) et pas n². Comment se ramener à ça ?

Kaiser

Voiciiiii :

E(e(X)²) = q²/(1-q) * [2/(1-q) + 1]
?

Je ne trouve pas ça :

En simplifiant ton expression, on aurait donc :

Pour ma part, je trouve

Comme as-tu procéder pour calculer ?

Kaiser

J'ai tout d'abord sépâré la somme en deux
Puis j'ai factorisé par q² dans la première et par q^3 dans la deuxième
J'ai re-séparé les sommes (parce que j'ai retrancher des termes qui apparaissaient après la factorisation)
J'ai refactorisé..
En fait tu vas pas pouvoir me suivre..
je vais regardé si je trouve mes erreurs

ben du coup je ne vois pas comment faire apparaître le q^(n-2) pour pouvoir calculer la série dérivée

Déjà, comme pour l'autre calcul, on a :

(le terme est nul pour n=0).

Ensuite, l'astuce est d'écrire .

Je te laisse continuer.

Kaiser

ok !
je trouve q(1+2q)/(1-q)² ..

presque ça : vérifie le "2q".

Kaiser

en fait je crois que ça doit venir du fait que j'ai écrit :
(somme de n=2 à +oo) n(n-1)q^(n-2) = 2/(1-q)^3
Mais je croyais que c'était correct...non ça ne l'est pas ?

non, ça, je suis d'accord.
mais tu as une deuxième somme (c'est des ) qui fait que tu n'as pas de 2, mais un 1.

Kaiser

en fait, cette somme je l'ai factorisée à l'intérieur par q pour faire apparaître nq^(n-1)

au final j'a :
q²(1-q) * 2/(1-q)^3 + q(1-q) * 1/(1-q)²
= 2q²/(1-q)² + q(1-q)²
=q(1+2q)/(1-q)²

je ne trouve pas mon erreurreeeuuuh

d'après ce queje vois, tu es en train de dire que , ce qui est faux.

Bref, il y a un hic de la première ligne de calcul à la deuxième.

Kaiser

ah oui forcément maintenant c'est bon !
et donc V(X)=q/(1-q)²
ouff !

oui, c'est bien ça.

Kaiser

Pour revenir à d(X)
j'ai n:
P(d(X)=x) = phi(x) = (somme de n=0 à +oo) de F(x+n) - F(n)
                   = (somme de n=0 à +oo) de -e^(-t(x+n)) + e^(-tn)

penses-tu qu'il faille que je laisse la fonction de répartition sous cette forme ou bien que je la calcule ?