Bonjour,

Je ne sais pas comment déterminer la loi de X.

On considère un plancher constitué de lattes parallèles identiques de largeur L > 0.
On laisse tomber sur ce plancher une aiguille de longueur ℓ > 0 et on regarde si, dans la
position où elle est tombée, cette aiguille rencontre la jointure entre deux lattes.
On prend les conventions suivantes : on suppose que les lattes de parquet sont alignées
dans la direction verticale. On note θ ∈ [0; π/2]
l'angle géométrique entre l'aiguille et l'ho-
rizontale. On note h la longueur du projeté orthogonal de l'aiguille sur l'axe horizontal.

Dans la suite, on se restreint au cas où ℓ < L.

On admet que, à angle θ fixé, la probabilité que l'aiguille rencontre la jointure entre deux lattes est égale à (ℓcos(θ))/L.

Pour simplifier l'étude, on discrétise le problème de la manière suivante : soit n ∈ N∗ ; pour tout k ∈ [[1; n]], on pose θ_k = kπ/2n . On suppose que l'angle θ est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l'ensemble {θ_1, . . . , θ_n}.
On note An l'événement « l'aiguille rencontre la jointure entre deux lattes ».

On pose X = 2nθ /π. Déterminer la loi de X.

Je sais que P(θ = θ_k) = 1/n. D'autre part, on a P(X = 2nθ /π) = P(X =  θ/θ_1) mais à partir de là je ne vois pas quoi faire à partir des infos de l'énoncé... Dire que X prends les valeurs entières allant de 1 à n ?

Merci par avance pour votre précieuse aide.