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variable aléatoire continue et fonction de répartition

Posté par
letonio 12-05-07 à 17:48

Bonjour,
J'ai du mal à traiter un sujet de proba.

1) Soit une variable aléatoire N prenant des valeurs entières strictement positives et de loi vérifiant
P(N=n)= c/n!  pour n dans IN*

a) calculer la valeur de la constante c.
Je trouve que c=1/(e-1)

b)calculer E(N)  E(N(N-1)) et en déduire V(N)
Je trouve E(N)=ce
   E(N(N-1))=ce
Var(N)= ce(2-ce)

c)calculer E(1/(N+1))
Je trouve E(1/(N+1))= c(e-2)

2) on considère une suite Ui i dans IN* de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur [0,1].
a) Soit f la densité de proba de Ui. Rappeler l'expression de f.
   f(x)= 1_{[0,1]} (x)

b) Calculer la fonction de répartition F, ainsi que l'espérance et la variance de Ui.
F(x)= x si x dans [0,1]
      O si x<0
      1 si x>1

E(Ui)= 1/2
V(Ui)=1/12

3)Soit n un entier non nul fixé
a) exprimer P[U1>x, U2>x, ...,Un>x]=p en fonction de F et de n
  En utilisant l'indépendance des Ui, je trouve que
p=(1-F(x))^n

b)En déduire la fonction de répartition , puis la densité de proba de la v.a Yn où Yn= min Ui pour i dans IN*
je commence à caler...

J'ai écrit que [Ui>x] = [min Ui>x]
Donc P[Yn>x] = (1-F(x))^n
et P[Yn<=x]= 1- (1-F(x))^n

Mais en admettant que c'est correct jusqu'ici, je ne vois pas du tout comment donner la densité.

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 12-05-07 à 18:06

Je continue
4) Soit N une v a prenant les valeurs 1,2,3,... avec les proba p1,p2,p3...
On suppose que E(N) existe et que N est indépendante des v a Ui
a) Calculer P(A_N)= P[X1>x,...,X_N>x]

A_N= (An[N=n] )  union disjointe

donc P(A_N)= P((An[N=n] ))
= ????

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 12-05-07 à 18:33

Bonjour letonio

pour le premier message, tout est bon !
pour la densité de probabilité, il faut trouver une fonction \Large{f_{n}} tel que pour pour tout x,\Large{\mathbb{P}(Y_{n}\leq x)=\bigint_{-\infty}^{x}f_{n}(t)dt}

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 12-05-07 à 18:35

Pour la question 4 : que peux-tu dire de cette union ?

Kaiser

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 00:31

Pour la 4, je m'étais dit que je pouvais utiliser le fait que l'union est disjointe, mais je n'avais pas l'impression que ça donnait quelque chose d'intéressant.

P(AN)= P(An).P(N=n)  en utilisant l'indépendance Ui avec N
= (1-F(x))^n . pn

ohhhh!!! Je n'avais pas vu la suite géométrique ^^

P(AN)= pn. 1/ [1-(1-F(x))]= pn/ F(x)

Je ne sais pas si c'est correct mais c'est pas mal comme résultat ^^

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 09:12

Pour la densité, je ne vois vraiment pas comment m'y prendre...

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 10:38

Bonjour letonio

non, ce n'est pas une suite géométrique : on ne sait rien de \Large{p_{n}}.
Il faut laisser cette somme tel quel.
Pour la densité, il suffit de dériver là où c'est possible.

Kaiser

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 11:20

Oups j'avais oublié que pn dépend de n ^^

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 11:20

Je l'avais pris comme une constante...

Posté par
veledare:variable aléatoire contineet fonction de répartion 13-05-07 à 12:53

bonjour,

pour la densité (ou plutot une densité) de Ynil suffit de dériver la fonction de répartition Fn de Yn que tu as calculée

Posté par
veledare : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 13:00

donc une densité de Yn c'est fndéfinie sur R par
fn(x)=0 six<0
fn(x)=n(1-x)n -1 si0x1
fn(x)=0 si x>1
sauf erreur de calcul

Posté par
veledare:variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 13:02

>>kaiser désolée je n'avais pas vu que tu avais répondu pour la recherche d'une densité

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 13:05

Bonjour veleda

c'est pas grave ! Plus on est de fous ...

Kaiser

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 15:32

pour la densité (ou plutot une densité) de Yn il suffit de dériver la fonction de répartition Fn de Yn que tu as calculée
C'était ma première idée, mais est-ce qu'on n'a pas besoin que Fn soit continue pour pouvoir conclure cela?
Il me semble que c'est parce que Fn est continue dans notre cas que ça marche non? Et est-ce que je ne dois pas préciser que Fn est continue dans la rédaction (voire le démontrer?) ?

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 15:37

En fait, on peut faire les choses à l'envers : au brouillon on détermine cette fonction et au propre, on "remarque" que ça marche ! (la fonction de répartition sera alors automatiquement continue)

Kaiser

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 15:39

C'est à dire que dans ta rédaction, tu poses une fonction fn, et tu vérifies que Fn(x)= \int_{-oo}^{x} fn(t) dt ? C'est ça?

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 15:41

Pourquoi tu dis que la fonction de répartition est automatiquement continue? Ca ne me semble pas si évident...

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 15:41

oui, ça fait un peu "balançage de résultat" mais bon, tant que ça marche !

Kaiser

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 16:15

Je continue

4 -b)  on note X= min Ui pour i=1,2,...,N
Démontrer que
P[X<=x]= 1- pn(1-x)^n pour x dans [0,1]

ok sans problème

En déduire la densité de proba g de la v a X  

Là je rame. Je ne sais pas par quel bout le prendre.

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 16:26

Là, il va falloir dériver sous le signe somme.

Kaiser

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 16:38

Heu oui
Je me suis planté. Ca n'est pas là que j'ai eu un problème.
Je trouve g(t)= 0 si t<0
                 0 si t>1
                 n pn(1-t)^(n-1)  si t est dans [0,1]

Mon problème est à la question suivante

c) Démontrer que E(X)= E(1/(N+1))
J'essaie de faire le lien avec la question 1-b), mais je ne trouve pas

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 16:55

je crois qu'il faudrait plutôt regarde le début de la question 4 (on parle d'une variable aléatoire N).

Kaiser

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 17:43

arf c'était subtil quand même. Je crois avoir trouvé.

E(1/(N+1))= pn/(n+1)

E(X)= \int_{0}^{1} tg(t) dt = \int_{0}^{1} t \sum_{n=1}^{+oo} npn(1-t)^{n-1} dt = \sum_{n=1}^{+oo}pn \int_{0}^{1} nt(1-t)^{n-1} dt   
En utilisant le théorème de convergence dominée pour les séries (théorème que je ne connais pas, mais je vais y travailler ^^ )
donc
E(X)= \sum_{n=1}^{+oo}pn/(n+1)  

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 13-05-07 à 18:59

oui, c'est bien ça !

Kaiser

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 14-05-07 à 18:01

Panne d'internet pendant deux jours...

En fait j'ai dit des bêtises, il me semble. Je n'ai pas besoin du th de convergence dominée.
Si j'appelle ma série Sn= Uk
Il me semble que j'ai juste besoin de la continuité des Uk , et de la convergence uniforme de Sn vers sa somme S.
Ensuite j'ai un magnifique petit théorème qui me permet de conclure.
lim_{n->oo} \int_0^{1} Sn(t) dt= \int_0^{1} S(t) dt

Je vais continuer parce que je sèche à nouveau sur la suite.

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 14-05-07 à 20:10

oui, effectivement, la convergence uniforme permet aussi de conclure.

Kaiser

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 14-05-07 à 21:51

Bonjour Kaiser,
Je n'avais pas compris une de tes interventions.
(la fonction de répartition sera alors automatiquement continue) 13/05/2007 à 15:37

Ca ne me paraît pas si évident. Pourrais-tu détailler un peu?

Je continue mon exo. Je crois que je touche au but ^^




5 a)  ON pose pn= 1/(e-1) .1/n!
Calculer la densité de probabilité g de X

Je trouve
g(x)= O si x>1
      e^(1-x)/(e-1) si x appartient à [0,1]
      0  si x<0

b) Calculer E(X) à partir de la définition et comparer avec les résultats précédents.
Pas de problème tout concorde (c'est là où on est rassuré normalement ^^ )

6) On considère une nouvelle v a discrète M telle que M et X sont indépendantes et
P(M=m)=(e-1)/e^(m+1)  pour m = 0,1,2,...

Calculer la densité de proba de la v a Y=M+X

En utilisant l'indépendance de M et X j'ai écrit:
E(Y)= E(M) + E(X)=(2e-3)/(e-1)= \int_{-oo}^{+oo} t.f(t) dt

J'en ai déduit que f(t)= 2.1_{[0,1]}(t).(2e-3)/(e-1)

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 14-05-07 à 21:58

Citation :
Je n'avais pas compris une de tes interventions.
(la fonction de répartition sera alors automatiquement continue) 13/05/2007 à 15:37

Ca ne me paraît pas si évident. Pourrais-tu détailler un peu?


La densité est une fonction intégrable et si f est intégrable alors la fonction définie par \Large{\varphi(x)=\bigint_{0}^{x}f(t)dt} (en fait, pour être correct on devrait mettre une indicatrice au lieu de bornes car on fait de la théorie de Lebesgue) est continue.
par exemple, ça se montre soit grâce au théorème de convergence dominée ou plus précisément, grâce au théorème de continuité d'une intégrale à paramètre.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 14-05-07 à 22:09

pour la question 6, c'est un peu plus compliqué que ça.
le fait que E(Y)=E(M)+E(X) n'est pas du à l'indépendance mais simplement parce que l'espérance est linéaire.
En fait, il faut prendre une fonction f (disons continue bornée) et calculer E(f(Y)).
Il faut prendre f quelconque car ce n'est que comme ça que tu pourras identifier précisément la densité.

Kaiser

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 15-05-07 à 07:11

ça se montre soit grâce au théorème de convergence dominée ou plus précisément, grâce au théorème de continuité d'une intégrale à paramètre.
Oui c'est vrai... Merci

le fait que E(Y)=E(M)+E(X) n'est pas du à l'indépendance mais simplement parce que l'espérance est linéaire.
oups

En fait, il faut prendre une fonction f (disons continue bornée) et calculer E(f(Y)).
Il faut prendre f quelconque car ce n'est que comme ça que tu pourras identifier précisément la densité.

Je ne vois pas du tout comment m'y prendre. Pourrais-tu m'aider encore un peu plus?

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 15-05-07 à 12:48

non, en fait, oublie ce que je t'ai dit : détermine plutôt la fonction de répartition de Y.

Kaiser

Posté par
letoniore : variable aléatoire continue et fonction de répartition 16-05-07 à 10:30

Je ne vois pas comment m'y prendre.

P(Y<=y)= P(X+M<= y)  et ma brillante capacité de réflexion s'arrête là

Posté par
kaiser Moderateurre : variable aléatoire continue et fonction de répartition 16-05-07 à 20:14

décompose l'événement \Large{\{X+M\leq y\}} en une union disjointe, selon les valeurs prises par M.

Kaiser


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