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Variable aléatoire continue Y=X²

Posté par
farida
09-06-12 à 13:29

Bonjour
je suis bloquée un peu ...j 'ai besoin d'aide s il vous plait
je veux trouver la fonction de répartition et la densité de la variable aléatoire Y=X² SUR [0,1] ( plus generalement sur [a,b]  )

on a FY(y)= P[Y<=y]=P[X²<=y]=P[-y<=X <=y]=P[X<=y]-P[X<= -y]
si y>0 FY(y)=P[X<=y) =FX(y)

j arrive pas à continuer ...si quelqu un se sent l ame charitable ..je veux  une réponse détaillée ou un coup de pousse ...
merci d avance

Posté par
PIL
re : Variable aléatoire continue Y=X² 09-06-12 à 17:16

Bonjour,

Tu as obtenu la relation  FY(y) = FX(y) - FX(-y), que tu peux dériver pour obtenir une relation entre les densités de X et Y.
Pour aller plus loin il faudrait connaître la loi de X !

Posté par
farida
re : Variable aléatoire continue Y=X² 09-06-12 à 19:19

Bonsoir
merci de m avoir répondue
à vrai dire je ne sais pas ce que je dois mettre dans les bornes de la fonction de répartition
par exemple pour la loi uniforme continue
soit a<b
soit X une V.A suit la loi uniforme sur [a,b] sa densité est donnée par fX(x)=1/(a+b)
et sa fonction de répartition vaut F(x)= fX(t) dt =0 si x<a
( integrale de - à x)
si x>b : F(x)= 1 et si a<=x<=b F(x)= x-a /(b-a)
je ne vois pas bien comment ils ont trouvé le 0 et le 1 et x-a/b-a je crois que c facil   mais je ne vois pas bien comment trouver le résulat
mon problème c que je ne sais pas ce que je dois mettre dans les bornes pour la fonction de répartition

merci de m avoir aidée

Posté par
PIL
re : Variable aléatoire continue Y=X² 09-06-12 à 21:49

Donc on suppose que X suit la loi uniforme sur  [a,b]. La densité de X est

     fX(x) = 1/(b-a)  si axb,   fX(x) = 0   sinon.

Dessine le graphe de cette fonction !  La fonction de répartition de X est

     \rm F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t)dt

ce qui donne :

      \rm F_X(x) = \int_a^x 0 dt = 0   si  x < a

      \rm F_X(x) = \int_a^x \frac{1}{b-a} dt = \frac{1}{b-a}(x-a)   si   a\le x\le b

      \rm F_X(x) = \int_a^b \frac{1}{b-a} dt + \int_b^x 0 dt = 1   si   x > b

Dessine le graphe de cette fonction !

Posté par
PIL
re : Variable aléatoire continue Y=X² 09-06-12 à 21:53

Une faute de frappe :  4ème ligne avant la fin :

    \rm F_X(x) = \int_{-\infty}^x 0 dt = 0  si   x < a

Posté par
farida
re : Variable aléatoire continue Y=X² 10-06-12 à 11:24

Bonjour et merci

mais je ne sais pas pourquoi mon ecran n affiche pas les images que vous avez mis dans les dernière lignes (4 , 6 ,7 et   8 )
merci quand meme

bon,pour la loi exponnentielle je ne vois pas bien pourquoi Fx(x)=0 si x<=0 !
on a Fx(x)= exp(- t) dt
          =[-exp(- t)]
          =-exp(O) + ?= -1+? = ?
          (intégral de - à 0 c bien ça je crois?!)        
j avance pas dans mon cours pourriez vous m aider s il vous plait
merci:?

Posté par
PIL
re : Variable aléatoire continue Y=X² 10-06-12 à 12:41

Bonjour,

Je reprends mon message de 21:49 sans utiliser Latex :

- la fonction de répartition de X est

     FX(x) = (de -à x) fX(t) dt

ce qui donne :

     si x < a  :      FX(x) = (de - à x) 0 dt  = 0

     si axb : FX(x) = (de - à a) 0 dt + (de a à x) [1/(b-a)] dt = (x-a)/(b-a)

     si x > b :   FX(x) = (de - à a) 0 dt + (de a à b) [1/(b-a)] dt + (de b à x) 0 dt = 1 .


Pour la loi exponentielle de paramètre , la densité est

     f(x) = 0 si x < 0  et  f(x) = e-x   si x 0

donc la fonction de répartition est :

    pour x < 0 :  F(x) = (de - à x) 0 dt = 0,
    pour x 0 : F(x) = (de - à 0) 0 dt  +  (de 0 à x) e-t dt = 1 - e-x.

Posté par
farida
re : Variable aléatoire continue Y=X² 10-06-12 à 13:43

Bonjouur
Merci Merci PIL votre réponse m a beaucoup aidé
appliquons ça sur cet exemple pour voir si j ai bien compris)
soit f  une fonction définie de
f(x)= x exp(-x²) si x>=0 sinon vaut 0
ou
1/déterminer pour que f soit une densité
2/ soit X la V.A de densité f ,donner la f.r de X
3/donner la loi de la V.A Y=X² et préciser son nom
4/calculer E(Y) et var (Y)

Réponses:
1/ aprés calcul je trouve :=2

2/Fx(x)=0 si x<0  ( est ce qu il faut préciser ce cas?!)
Fx(x)= ( de 0 à x ) f(t)dt
      =(de 0 à x) 2t exp(-t²) dt
      = 1- exp(-x²)

3/on a Fy(y)=P[Y<=y]=P[X²<=y]= 0 si y<0 alors fy(y)=0 dans ce cas
si y>=0 :
Fy(y)=P[-y <=X<=y]
     =Fx(y)-Fx(-y)
calculons Fx(y) et Fx(-y)
comme -y <0 alors Fx(-y)=0
Fx(y)=1-exp(-y)
alors fy(y)=exp(-y) | + (y)  
Y suit la loi exponnentielle

4/ E(Y)=E(X²)
       =(de 0 à + )2x^3 exp(-x²) dx
       =1 (integration par partie)

var(Y)=E(Y²)-[ E(Y)]²
E(Y²)= ( de 0 à +) 2x^5 exp(-x²) dx=2
alors var(Y)=1

j espère que je me trompe pas
merci de m avoir aidée
merci

Posté par
PIL
re : Variable aléatoire continue Y=X² 10-06-12 à 17:22

Pour les points 1/, 2/, 3/ c'est bon !  Au point 2/ il faut dire que FX(x) = 0 pour x<0.

Pour la question 4/ pourquoi repasser par X ?  Tu sais que Y suit une loi exponentielle de paramètre = 1, donc tu peux calculer directement   E(Y) = (de 0 à ) ye-ydy  et E(Y2) = ...
Comme ça revient souvent, il est bon de savoir que pour une loi exponentielle de paramètre , on a  E(X) = 1/  et  Var(X) = 1/2  !

Posté par
farida
re : Variable aléatoire continue Y=X² 10-06-12 à 20:30

Re bonsoir
Merci PIL pour la réponse
à vrai dire je ne savais pas ce que vous avez signalé dans la 4 éme ligne .(on a pas fait ca en cours )
merci en tous cas

Posté par
farida
re : Variable aléatoire continue Y=X² 10-06-12 à 23:16

re bonsoir
une chose s il vous plait si 1
on ne peut pas utiliser directement E(y) ?on est obligé de passer par X?
c bien ça?
merci

Posté par
farida
re : Variable aléatoire continue Y=X² 10-06-12 à 23:27

autre chose si je calcul dans mon exo directement E(Y²) ce n est pas evident
de calculer 2 y²exp(-y²) !!
par une integration par partie:
si je pose U(y)=y          --> U'(y)=1 et
           V'(y)=2yexp(-y²) -->V(y)=-exp(-y²)
on obtient E(Y²)= [-yexp(-y²)] +exp(-y²) dy
j arrive pas à calculer la deuxiéme partie
                  

Posté par
numero10
re : Variable aléatoire continue Y=X² 11-06-12 à 01:07

Salut,

Je n'ai vu que la dernière ligne du coup je ne connais pas tes bornes. Mais va voir ce qu'est une intégrale de Gauss.

Si tu sais ce qu'est une loi normale centrée réduite, tu as forcément déjà rencontré cette intégrale.

Posté par
veleda
re : Variable aléatoire continue Y=X² 11-06-12 à 08:36

bonjour,
>>farida
si Y suit la loi exponentielle de paramètre 1  E(Y^2)=\int_0^{+\infty}y^2e^{-y}dy ce qui se calcule facilement en intégrant par parties
tu  t'es trompée  en écrivant \int_0^{+\infty}y^2e^{-y^2}dy ce qui fait intervenir une intégrale de Gauss comme te l'a dit numéro 10

Posté par
farida
re : Variable aléatoire continue Y=X² 13-06-12 à 01:59

Bonsoir
Merci infiniment, oui oui je me suis trompée  !



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