Bonjour

Vérifie d'abord que f est bien une densité sur 0;infini (ce qui te permets en même temps de calculer une primitive de f dont tu auras besoin).
Il faut pour la fonction de répartition calculer
F(t)=P(Y<t)
P(Y<t)=P((Y<t)(X<c))+P((Y<t)(X>c))=P((Y<t)/X<c)*P(X<c)+P((Y<t)/X>c)*P(X>c)  (le / signifie "sachant")
ce qui donne
P(c<t)*P(X<c)+P(X<t)*P(X>c)
Reste plus qu'à distinguer deux cas t<c  , t>c
Si t<c il ne reste que P(X<t)*P(X>c) qui se calcule avec de bonnes intégrales qui utilisent la densité de X
Si t>c P(c<t)=1 et tu finis tes calculs avec les intégrales voulues (je ne l'ai pas fait).

Merci y-grec-carré!

Mais,
Q1:
P((Y<t)/X<c)*P(X<c)+P((Y<t)/X>c)*P(X>c)  
pourquoi ce qui donne
P(c<t)*P(X<c)+P(X<t)*P(X>c)?

Q2:
Si t<c il ne reste que P(X<t)*P(X>c) qui se calcule avec de bonnes intégrales qui utilisent la densité de X
comment calculer
P(X<t)*P(X>c)?

Merci d'avance~~

Q1: Si on sait X<c  on déduit que Y=c (c'est le max entre X et c). Et de plus on utilise P(AinterB)=P(A/B)*P(B) . Je t'ai proposé une piste très élémentaire. L'espace probabilisé OMEGA est recouvert par deux événements complémentaires (X<c)U(X>c), le mieux est de dessiner des "patates"; et l'ensemble Y<t qui nous intéresse empiète sur les deux sous ensembles complémentaires. Faire le dessin, on reconnait la configuration dite du Pb de BAYES.
Rem1: les inégalités <= ou < n'ont pas d'importance car X est de densité continue, donc P(X=c)=0 .
Rem2: le calcul de P(c<t) impose de distinguer les 2 cas t<c où P(c<t)=0 et t>c où P(c<t)=1 , d'où une éventuelle discontinuité de F(t) en c ..

Q2: Quand tu as la "chance" de connaître une variable par une densité f(x) tu utilises ton cours P(X<a)=intégrale de -infini à a de f(x)dx. Ici on dit que X n'a de la densité que sur R+, donc P(X<t)=int de 0 à t de 1/(1+x)2 avec t >0. De même pour les autres en surveillant les bornes.

Une fois calculée F(t)il faut la tracer pour voir si ça ressemble à une fonction de rép. S'il y a erreur on s'en rendra compte.

Salut,

Pour trouver la fonction de répartition  F  de  Y=max(X1,X2)  où  X1  et  X2  sont des variables aléatoires indépendantes dont on connaît les fonctions de répartition  F1  et  F2, c'est très simple:

Y<t  signifie que le maximum de  X1  et  X2  est plus petit que  t, ce qui est équivalent à  X1 < t  et  X2 < t.
Donc  P(Y<t) = P(X1<t et X2<t) = P(X1<t)*P(X2<t).

Ainsi on a tout simplement  F(t) = F1(t)*F2(t).

Oui! mille fois Oui à la méthode claire et simple de Stokastik (avec un tel pseudo !!). D'autant que dans mes propositions il y a 1 risque sur l'intervalle [0;c] de ne pas voir que toutes les probas sont nulles donc que F(t)=0.

comme stokastik fait...

Y=Max(X,c)
P(Y<t)=P(X<t et c<t)=P(X<t)P(c<t)

Alor,comment le faire
Q1:
P(c<t)=?  c>0

Q2:
P(X<t)=?
etudier la fonction de repartition de 1/(1+x)²?

Q1 P(c<t)=0 si 0<t<c sinon P(c<t)=1
Q2 P(X<t)=intégrale de 0 à t de 1/(1+x)²dx ; une primitive facile -1/(1+x) etc.. ça devrait marcher.

Oui enfin là y'a pas besoin d'utiliser mon truc, avec  Y=max(X,c)  on a P(Y<t)=P(X<t et c<t) = P(X<t) si c<t et =0 si c>t

Merci stokastik et y-grec-carré!


alor,j'ai une question encore
trouver la fonction de répartition,quand est ce que on peut utiliser intégrale de -infini à t?quand on ne peut pas ?  
comme P(X<t)=intégrale de 0 à t de 1/(1+x)²dx ..pourquoi 0 à t? prquoi pas -infini à t?