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variable aleatoire/indépendance

Posté par Liloue (invité) 30-08-05 à 11:42

Bonjour !

toujours dans ma série révisions et réjouissance....

P(X=k)=\Bigsum_{n=0}^\infty~\(n\\k\)p^k(1-p)^{n-k}P(N=n)=\Bigsum_{n=k}^\infty~\(n\\k\)p^k(1-p)^{n-k}P(N=n)

1 . les variables aléatoires N et X sont elles indépendantes ?
(on considérera deux entiers a et b verifiant 0a<b P(N=a)0 et P(N=b)0 et on se préocuppera de l'evenement [N=a][X=b])

2 . On suppose que la variable aléatoire N suit la loi de poisson de paramètre , réel strictement positif. Montrer que X suit la loi de poisson de paramètre p

Posté par Liloue (invité)re : variable aleatoire/indépendance 31-08-05 à 18:37

Posté par biondo (invité)re : variable aleatoire/indépendance 31-08-05 à 21:23

Salut,

Je seche sur le 1.
En revanche le 2. est purement calculatoire:

Si N suit une loi de Poisson, alors
3$ P(N=n) = \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}

Donc en reportant dans l'expression de P(X=k)
3$ P(X=k) = \sum_{n=k}^{\infty}\(n\\k\)p^k(1-p)^{n-k} \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}
3$ P(X=k) = \sum_{n=k}^{\infty}\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k} \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}

En sortant exp(-lambda), k!, p^k et lambda^k de la somme (ils ne dependent pas de n, indice de sommation), et en simplifiant par n! dans la somme:
3$ P(X=k) = e^{-\lambda}\frac{p^k\lambda^k}{k!}\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{(n-k)!}(1-p)^{n-k} \lambda^{n-k}

En changeant l'indice de sommation en q = n-k, on va trouver l'expression sous forme de serie entiere de exp(lambda.(1-p)), et finalement:

3$ P(X=k) = \frac{\lambda^kp^k}{k!}e^{-\lambda p}

Donc X suit une loi de Poisson.


J'espere que qqun te filera un coup de main sur le 1.
---
(aux erreurs de frappe pres, ca n'est pas tres complique en fait)

A+
biondo

Posté par
stokastikre 01-09-05 à 12:17


Je doute que cette formule seule permette de répondre à ta première question.
Par contre, vu cette formule, on peut penser que la définition (que tu dois bien avoir dans ton énoncé) des variables aléatoires X et N permet de constater que
P[N=a et X=b] = 0  si  a > b  (car la proba P[X=b] se calcule à partir des  P[X=n]  pour  n >=b ; tu dois bien voir quelque part que nécessairement, on a  X >= N).
Donc  P[N=a et X=b]  n'est pas égal à  P[N=a] x P[X=b] ; les v.a.  N  et  X  ne sont donc pas indépendantes.

Posté par Liloue (invité)re : variable aleatoire/indépendance 01-09-05 à 19:06

je vais regarder ca en effet.

merci fde votre aide !


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