Bonsoir,

La définition d'une loi sans mémoire est claire :


La loi binomiale ne vérifie clairement pas cela.  Notamment, si , alors

C'est peu clair. Si désigne le temps d'attente d'un certain événement (attente à la poste, mort d'une personne, panne d'un produit, etc.), dire que est sans mémoire revient à dire que la loi du temps d'attente est identique, même si l'on a déjà attendu une certaine durée pendant laquelle l'événément ne s'est pas produit. Par exemple, si la durée de vie d'une batterie d'ordinateur suit une loi sans mémoire, que j'ai acheté une batterie il y a un an sans qu'elle ne tombe en panne, et que mon ami vient d'acheter une batterie, alors la probabilité que ma batterie tombe en panne dans 2 ans par exemple est identique à la probabilité que la batterie de mon ami tombe en panne dans 2 ans. Le fait que la mienne ait déjà un an d'ancienneté n'a aucune influence sur la loi de la durée de vie restante : c'est la perte de mémoire.

Il est assez clair, au vu de la définition, qu'une loi sans mémoire doit pouvoir prendre un nombre infini de valeurs possibles. Donc la loi binomiale est à exclure. Mais essayons de voir avec un argument un peu moins trivial pourquoi on doit l'exclure. Mettons que l'on a qui suit une loi binomiale, et qui représente par exemple le nombre de téléphones défectueux parmi les téléphones que mon entreprise produit (chaque téléphone pris séparément a donc une probabilité d'être défectueux). Imagine la probabilité qu'il y ait appareils défectueux sachant qu'il y en a déjà .  Compare la avec la probabilité qu'il y ait au moins un appareil défectueux. Tu verras que ce n'est pas du tout la même quantité.


Cette idée est à rapprocher de la notion d'indépendance, et de distributions identiques de différentes variables aléatoires. On n'est pas dans l'idée d'une perte de mémoire.