Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Variables aléatoires...

Posté par
francis_aix 02-11-07 à 22:02

Bonsoir à tous,

J'ai deux variables aléatoires indépendantes X et Y.
X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda.
Y suit une loi exponentielle de paramètre \mu.

On me demander de donner la densité de la variable aléatoire X+Y.

Je ne sais pas comment partir...

La densité de X est f_X\left(x\right)=\lambda e^{-\lambda x}.

La densité de Y est f_Y\left(y\right)=\mu e^{-\mu x}.

A partir de la, je ne sais pas ou aller...

Merci pour votre aide,
Francis

Posté par
franzre : Variables aléatoires... 02-11-07 à 23:31

Le mieux est de partir des fonctions de répartition

P(X+Y\leq z) \\ \qquad =\Bigcup_{x=-\infty}^{z} p(X<x\cap Y<z-x) \\ \qquad =\Bigint_{-\infty}^{z}p(x<X<x+dx). p(Y<z-x) \hspace{20} {\rm car les variables sont independantes}\\ \qquad =\Bigint_{0}^{z}(1-e^{-\mu (z-x)})\lambda e^{-\lambda x} dx

Deux cas se présentent lorsque l'on conduit cette intégration  :

4$\bullet\qquad \lambda\neq\mu
4$P(X+Y\leq z) =1-\frac {\mu e^{-\lambda z} -\lambda e^{-\mu z}}{\mu-\lambda}

qui conduit à une fonction de densité

4$f_{X+Y}(z) =\lambda\mu\;\frac { e^{-\lambda z} - e^{-\mu z}}{\mu-\lambda}


4$\bullet\qquad \lambda = \mu
4$P(X+Y\leq z) =1-(1+ \lambda z)e^{-\lambda z}

qui conduit à une fonction de densité

4$f_{X+Y}(z) =\lambda^2 z \;e^{-\lambda z}

Posté par
veledare : Variables aléatoires... 02-11-07 à 23:49

bonsoir
si h est une densité de la somme
h(z)=-oo+oofX(x)fY(z-x)dx
les densités de X et Y sont nulles sur R- donc
h(z)=0ze-xµe-µ(z-x)dx
ce qui donne sauf erreur de calcul
h(z)=(µ/(-µ))[e-z-e-µz] pour z>0
et 0 sinon

Posté par
veledare : Variables aléatoires... 02-11-07 à 23:51

valable si les deux paramètres sont distincts

Posté par
francis_aixmerci 03-11-07 à 15:36

merci merci pour votre aide, ca m'a débloqué complètement

Posté par
franzre : Variables aléatoires... 03-11-07 à 22:23

avec plaisir


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !