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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
variables aléatoires
Posté par nirosane
Bonjour,
Pourriez vous m'aider pour cet exercice s'il vous plait?
Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.
Soit (Xn)n
1, une suite de variables réelles indépendantes définies sur un espace probabilisé (Ω, A, P). On suppose que pour tout n ≥ 1, Xnsuit une loi de Bernoulli de paramètre
. On note pour n ≥ 1, Sn = X1 + . . . + Xn et Yn=
1. Calculer, pour n ≥ 1, E[Sn] et V(Sn), puis vérifier que V(Sn) ≤ E[Sn].
2.Soit 
>0 , montrer que pour tout n 1,
En déduire la convergence en probabilité de (Yn) vers 1.
3. En déduire que la sous suite ( Yn^4)n1 converge presque surement vers 1.
Salut
Le 1)est assez simple c'est du cours, pour la question suivante voir l 'inégalité de Tchebytchev
Bonsoir,
J'ai fait la question 1 mais je n'ai pas vraiment calculer l'espérance si ce n'est que j'ai dis que c'était la somme des espérances de chacune des variables ( je ne sais pas si c'est suffisant , sinon on peut montrer que l'espérance de Sn est équivalente à 2
n ).
Après j'ai répondu à la suite de la question et j'ai fait la première partie de la question 2.
Mais je bloque un peu pour la convergence en proba je ne vois pas très bien comment faire.
J'ai d'ailleurs oublié de mettre la question 4 de l'exercice dans le premier message puis je la rajouter à la suite?
Pour la suite de la question 2 , je viens de faire ça :
De l'inégalité précédente et de l'équivalence E[Sn]
2n au voisinage de +
on déduit par le théorème des gendarmes que P(|Yn - 1|>)
0 en +.
Donc Yn converge en probabilité vers 1.