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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Variables aléatoires

Posté par
maxxiiime
27-03-21 à 11:21

Bonjour,
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois normales centrés résuites (N(0,1)).
Les deux variables aléatoires  (X+Y) et (X-Y) sont elles indépendantes ?

Je pense que oui.

Preuve :

Soient W=X+Y et Z=X-Y
J'utilise la définition de l'indépendance :
Soient A,B deux boréliens de .
Montrons que P((WA)(ZB))=P(WA)P(ZB).

Mais je ne vois pas vraiment comment poursuivre.

Merci d'avance

Posté par
carpediem
re : Variables aléatoires 27-03-21 à 11:59

salut

tu peux remarquer que W et Z suivent toutes les deux la loi normale N(0, 2) ...

Posté par
maxxiiime
re : Variables aléatoires 27-03-21 à 12:01

Comment ca se montre ca ?
merci

Posté par
maxxiiime
re : Variables aléatoires 27-03-21 à 12:02

Et de toutes façons, j'avoue ne pas vraiment comprendre a quoi cela va servir. Merci

Posté par
maxxiiime
re : Variables aléatoires 27-03-21 à 13:44

si quelqu'un peut m'aider... merci

Posté par
GBZM
re : Variables aléatoires 27-03-21 à 14:20

Bonjour,

Tu peux raisonner en terme de densités. Est-ce que la densité jointe du couple W,Z est égal au produit de la densité de W par celle de Z ?

Posté par
maxxiiime
re : Variables aléatoires 27-03-21 à 14:38

Je ne vois pas vraiment ce que vous voulez dire par "densité jointe du couple W,Z".
Merci encore...

Posté par
GBZM
re : Variables aléatoires 27-03-21 à 18:24

Je pensais que tu connaissais la notion de densité jointe.

Bon, tant pis.

Posté par
maxxiiime
re : Variables aléatoires 27-03-21 à 18:29

Non, ce n'est en effet pas dans mon cours.
Avez vous une autre idée ? Peut etre en passant par ce que j'ai mis dans mon premier message ?
Merci

Posté par
Ulmiere
re : Variables aléatoires 27-03-21 à 18:41

W et Z sont des gaussiennes en tant que combinaisons linéaires de v.a gaussiennes indépendantes.
Elles sont toutes les deux de moyenne nulle et de variance 2.
Elles sont indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle (parce que ce sont des gaussiennes, justement), c'est-à-dire si et seulement si E(WZ) = 0 dans le cas présent.
Vu la valeur de WZ et sachant que X et Y ont même loi...

Posté par
flight
re : Variables aléatoires 27-03-21 à 20:17

salut

une idée mais à verifier ......
on pose Z = X+Y
                   T = X - Y  toute deux de loi normale N( 0 , 2)

Var(Z+T)=Var(Z) + Var(T) + 2Cov(Z,T)  puisque les autres termes sont nuls , puis ensuite calculer Cov(Z,T)  et conclure que si celui ci est non nul alors Z et T sont independantes..
à verifier ...

Posté par
flight
re : Variables aléatoires 27-03-21 à 20:27

..je suis fatigué :D  désolé à la relecture c'est pas top !

Var(Z+T)=Var(Z) + Var(T) + 2Cov(Z,T)   calculer Cov(Z,T)  et conclure que si celui ci est  nul alors Z et T sont independantes..
à verifier ...



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