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Variables aléatoires
Posté par maxxiiime
Bonjour,
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois normales centrés résuites (N(0,1)).
Les deux variables aléatoires (X+Y) et (X-Y) sont elles indépendantes ?
Je pense que oui.
Preuve :
Soient W=X+Y et Z=X-Y
J'utilise la définition de l'indépendance :
Soient A,B deux boréliens de 
.
Montrons que P((W
A)
(ZB))=P(WA)P(ZB).
Mais je ne vois pas vraiment comment poursuivre.
Merci d'avance
Bonjour,
Tu peux raisonner en terme de densités. Est-ce que la densité jointe du couple W,Z est égal au produit de la densité de W par celle de Z ?
Non, ce n'est en effet pas dans mon cours.
Avez vous une autre idée ? Peut etre en passant par ce que j'ai mis dans mon premier message ?
Merci
W et Z sont des gaussiennes en tant que combinaisons linéaires de v.a gaussiennes indépendantes.
Elles sont toutes les deux de moyenne nulle et de variance 2.
Elles sont indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle (parce que ce sont des gaussiennes, justement), c'est-à-dire si et seulement si E(WZ) = 0 dans le cas présent.
Vu la valeur de WZ et sachant que X et Y ont même loi...
salut
une idée mais à verifier ......
on pose Z = X+Y
T = X - Y toute deux de loi normale N( 0 , 
2)
Var(Z+T)=Var(Z) + Var(T) + 2Cov(Z,T) puisque les autres termes sont nuls , puis ensuite calculer Cov(Z,T) et conclure que si celui ci est non nul alors Z et T sont independantes..
à verifier ...