bonjour, je suis actuellement en première année de classe préparatoire ECG et ai un devoir à rendre pour la rentrée mais il me manque quelques réponses pour pouvoir le terminer.
voici le sujet :
On dispose de 3 urnes numérotées 1,2 et 3 qui contiennent chacune deux boules.
— L'urne numéro 1 contient deux boules blanches.
— L'urne numéro 2 contient 1 boule blanche et une boule rouge.
— L'urne numéro 3 contient 2 boules rouges.
L'expérience consiste à choisir une fois pour toutes une urne « au hasard », puis à y effectuer une succession de tirages avec remise, jusqu'à l'éventuelle apparition d'une boule blanche.
Pour tout entier k compris entre 1 et 3, on note Uk l'évènement : « on choisit l'urne numéro k ».
On considère la variable aléatoire X égale au rang du tirage où apparait pour la première fois une boule blanche.
On attribue à X la valeur 0 si l'on n'obtient jamais de boule blanche.
1. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X .
2. Justifier les résultats suivants U1(X = 1) = 1,PU2(X = 1) = 12,PU3(X = 1) = 0.
3. Etablir que P(X = 1) = 12
4.Justifier que pour tout entier j supérieur ou égal à 2, on a : PU1(X=j)=0etPU3(X=j)=0.
5. Calculer, pour tout entier j supérieur ou égal à 2,PU2 (X = j)
6. Montrer, pour tout entier j supérieur ou égal à 2, la relation P(X = j) = 1/3(1/2)j.
7. Calculer P (X = 0). Proposer une interprétation de ce résultat.
8. Justifier l'existence de l'espérance mathématique de X .
9. Calculer E(X)

j'ai réussi à répondre aux quatre premières questions, pour la 5 je bloque puisque je connais le résultat : (1/2)**j mais je ne vois pas comment le démontrer. Ensuite pour la question 7, j'ai utilisé la formule des probes totales mais ne voit pas quel résultat je suis censé trouver sachant que P(X=0) sachant U1 est impossible, P(X=0) sachant U2 est possible uniquement si on tire que des boules rouges et  P(X=0) sachant U3 est égal à un ). Ensuite pour les questions 8 et 9, je bloque pour  le calcul de la série, je me doute qu'il faut changer la variable de j=0 à J=2 puis changer la variable (j-1) mais je vois pas comment arriver à un résultat fini.
merci d'avance pour votre aide.
cordialement,
Manon Le Gendre