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Variables Aléatoires Réelles : Loi de Gamma

Posté par
Volgare 22-01-23 à 11:49

Bonjour à tous,

Énoncé du problème :

Une variable aléatoire continue X suit une loi Gamma de paremètre et (réels strictement positifs) si sa densité est de la forme :

f(x) = \frac{x^{\lambda -1}e^{-x/\theta }}{\Gamma (\lambda )\theta ^{\lambda }}, pour x \geq 0

où est la fonction Gamma d'Euler, définie par \Gamma (t)= \int_{0}^{+\infty }{x^{t-1}e^{-x}}dx. Cette fonction généralise à tout réel la fonction factorielle définie sur les entiers, de sorte qu'elle possède la propriété :
\forall t>0, \Gamma (t+1) = t\Gamma (t).
Par ailleurs, la fonction caractéristique d'une loi \Gamma (\lambda ,\theta ) est donnée par :
\forall t, \Phi _{X}(t) = (1 -i\theta t)^{\lambda },
ce qui sera utilse pour l'une des questions ci-dessous.

1. On prend = 1 pour simplifier. Calculer alors la moyenne et la variance de X.

2. Soit (X_{k})^{n}_{k=1} des variables aléatoires indépendantes de loi \Gamma (\lambda _{k},1). On pose Y = \sum_{n}^{k=1}{X_{k}}. Quelle est la loi de Y ?

3. On prend \lambda _{k}=1 pour tout k. Que peut-on dire de la loi de Y quand n devient (infiniment) grand ?

Commençons par la première question :

Pour la moyenne j'essaye d'appliquer la formule de l'espérance dans le cas d'une variable continue :
E[X] = \int_{\mathbb{R}}^{}{xf_{X}x} dx

Le problème étant qu'après simplification je me retrouve avec deux intégrales (une grande et une au dénominateur) et que je n'ai pas réussi à calculer l'intégrale au dénominateur même en faisant de l'intégration par partie :  \Gamma (t)= \int_{0}^{+\infty }{x^{t-1}e^{-x}}dx

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Variables Aléatoires Réelles : Loi de Gamma 22-01-23 à 12:00

salut

\Gamma(\lambda) \theta^\lambda est une constante par rapport à la variable d'intégration x

on cherche donc à intégrer x^\lambda e^{-x/\theta}

ce qu'on fait par IPP avec u(x) = x^\lambda puis on utilise la propriété de la fonction gamma pour simplifier ce qui reste

ce me semble-t-il ...

Posté par
Volgarere : Variables Aléatoires Réelles : Loi de Gamma 22-01-23 à 14:32

Merci pour votre réponse,

Je rappelle donc la formule d'IPP :
\int_{a}^{b}{u'(x).v(x)dx} = \left[u(x).v(x) \right]^{b}_{a} - \int_{a}^{b}{u(x).v'(x)dx}

Je dois choisir la fonction v à dériver. Je choisi donc le polynôme car il est prioritaire sur l'exponentiel.
Ce qui me donne :
v = x^{\lambda }
v' = \lambda x^{\lambda -1}
u' = e^{-x}
u = -e^{-x}

Je remplace alors dans ma formule d'IPP :

\left[-e^{-x}*x^{\lambda } \right]_{0}^{+\infty } - \int_{0}^{+\infty }{\lambda x^{\lambda -1}* -e^{-x}}dx
= 0 + \lambda \int_{0}^{+\infty }{ x^{\lambda -1}*e^{-x}}dx
= \lambda \Gamma (x)

donc E[X]= \lambda \Gamma (x)

Ai-je bon  ?

Posté par
carpediemre : Variables Aléatoires Réelles : Loi de Gamma 22-01-23 à 15:15

ça semble bon mais tu as oublié le dénominateur et c'est v'(x) = e^{-x/\theta}

Volgare @ 22-01-2023 à 14:32

Je choisi donc le polynôme car il est prioritaire sur l'exponentielle
ce n'est pas le bon argument : c'est plutôt qu'il va "disparaitre" après un certain nombre d'IPP ... bien qu'ici lambda soit un réel et non un entier ...

Posté par
Volgarere : Variables Aléatoires Réelles : Loi de Gamma 24-01-23 à 09:37

Effectivement j'ai oublié le dénominateur.

Je reprends :

E[X] = \frac{1}{\Gamma (\lambda )}\int_{0}^{+\infty }{x^{\lambda }e^{-x}}dx

= \frac{\lambda \Gamma (\lambda )}{\Gamma (\lambda )}
= \lambda

Voilà pour l'espérance.

Concernant l'IPP, on m'a appris la formule suivante :

Volgare @ 22-01-2023 à 14:32


Je rappelle donc la formule d'IPP :
\int_{a}^{b}{u'(x).v(x)dx} = \left[u(x).v(x) \right]^{b}_{a} - \int_{a}^{b}{u(x).v'(x)dx}


Ainsi que  le fait qu'il fallait choisir la fonction v(x) à dériver en fonction de la première fonction rencontrée en suivant le mot clé ALPES (Arctan, Arccos, Arcsin | ln, log | Polynôme | Exp | Sin, cos, tan).
Dans le cas de cet exercice je choisis donc v(x) = x^{\lambda } car j'ai d'un coté un polynôme et de l'autre une exponentielle.

Ai-je bon dans mon raisonnement ?

Merci de vos réponses.

Posté par
carpediemre : Variables Aléatoires Réelles : Loi de Gamma 24-01-23 à 18:02

tu devrais reprendre le calcul complètement sans oublier le dénominateur ...

Posté par
Volgarere : Variables Aléatoires Réelles : Loi de Gamma 26-01-23 à 09:53

J'ai repris complètement le calcul :

E[X] = \int_{\mathbb{R}}^{}{x*f_{X}(x)dx}
= \int_{0}^{+\infty }{\frac{x*x^{\lambda -1}*e^{-x/\theta }}{\Gamma (\lambda )*\theta ^{\lambda } }}
= \frac{1}{\Gamma (\lambda )}\int_{0}^{+\infty }{x^{\lambda }*e^{-x}}
=\frac{1}{\Gamma (\lambda )} (\left[-e^{-x}*x^{\lambda } \right]_{0}^{+\infty } - \int_{0}^{+\infty }{\lambda x^{\lambda -1}* -e^{-x}}dx)
=\frac{1}{\Gamma (\lambda )} (0 - (- \lambda \int_{0}^{+\infty }{ x^{\lambda -1}* e^{-x}}dx)
=\frac{1}{\Gamma (\lambda )} ( \lambda * \Gamma (\lambda ))
= \lambda

J'ai sans doute faux quelque part mais je n'ai pas trouvé où.

Posté par
carpediemre : Variables Aléatoires Réelles : Loi de Gamma 26-01-23 à 10:07

il manque dx et \theta^\lambda et exp(-x/) aussi ...

Posté par
Volgarere : Variables Aléatoires Réelles : Loi de Gamma 26-01-23 à 18:29

Effectivement il manque dx.
Cependant \theta ^{\lambda } = 1^{\lambda } = 1 donc j'ai simplifié.
De même pour e^{-x/\theta } = e^{-x/1 } = e^{-x}.


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