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Variance d'une somme
Posté par bilou51
Bonjour à tous,
Soit X et Y deux variables aléatoire où Y=kX.
X~B(5, 0.6)
E(Y) = kE(X) = 3k
Var(Y)=k² var(X)= 1.2k². Je ne comprends pas pourquoi on doit mettre k² et non k. En TD, nous n'avons jamais mis au carré le k...
Merci d'avance
Citation :
Var(X)= E(X²) - (E(X))² non ?
Var(X)= E(X²) - (E(X))² non ?
Bien sûr...
... et dans ce cas il est où ton problème ???
Var(Y) = E(Y²) - E²(Y)
Var(kX)= E(k²X²) - E²(kX)
Var(kX)= k²E(X²) - k²E²(X)
Var(kX)= k²Var(X)
La variance de kX ... c'est k² fois la variance de X.
L'écart-type de kX ... c'est k fois l'écart-type de X.
Franchement pas sorcier...
D'accord mais alors pourquoi en TD, on a :
Le nombre X de kg de tomates récoltés dans un jardin en une semaine, est une variable
aléatoire dont la loi de probabilité est la suivante :
x 0 1 2 3
pX(x) 0.1 0.5 0.3 0.1
2. Calculer l'espérance et la variance de de X.
3. Pendant les six semaines de la saison de récolte, la loi de probabilité reste la même ; calculer
l'espérance mathématique et la variance de la variable aléatoire Y : récolte totale en six
semaines.
On à alors Y=6X
Et au final on trouve Var(Y)=6Var(x)=6*0.64=3.84 ? Pourquoi ici on a pas 6² ?
Merci d'avance
Donc le prof s'est trompé ? On a fait plusieurs fois cette erreur dans les TD, c'est quand même bizarre
Il me semble que le prof avait dit que la formule utilisée ici n'était valable que si les variables aléatoires étaient indépendantes. Même si elles sont indépendantes, c'est faux?
soit on n'a qu'une variable X et Y = 6X alors Var(Y) = 36Var(X)
soit on a 6 variables aléatoires indépendantes et identiques ... et ça revient au même ....
donc ton prof est un bon à rien mauvais en tout .... et il ne te reste plus qu'une alternative :
lui dire ... ou non ... et plutôt lui poser la question ....
voir 
Bonjour carpediem,
Je serais plutôt de l'avis de Bilou51 et du prof de TD.
Les formules de variance citées ne sont valables que pour un très grand nombre, donc, à mon avis, non applicables dans le cas présent.
Il faut revenir à la définition de la variance : le carré de l'écart-type.
Mais je pense qu'il vaut mieux en reparler demain.
Si Y=X1+X2+...+X6 avec les Xi indépendantes et de même loi alors V(Y)=6V(X).
Si vous y tenez vraiment, je peux écrire la démonstration. Mais on la trouve un peu partout : voir le lien de carpediem.
Citation :
Y : récolte totale en six
semaines.
On à alors Y=6X
Y : récolte totale en six
semaines.
On à alors Y=6X
Ce n'est pas ton prof qui a écrit Y=6X... ce serait étonnant.
Parce que c'est idiot.
Y est la somme de 6 variables Xi indépendantes et de même loi :
Y = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6
C'est très différent de Y = 6X
C'est de là que vient ta confusion.
Var(6X) = 6²Var(X)
Et si les Xi sont indépendantes entre elles (et de même loi):
Var(X1+X2+X3+X4+X5+X6) = Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(X6) = 6 Var(Xi)
Citation :
Les formules de variance citées ne sont valables que pour un très grand nombre, donc, à mon avis, non applicables dans le cas présent.
Les formules de variance citées ne sont valables que pour un très grand nombre, donc, à mon avis, non applicables dans le cas présent.
Pour éviter toute confusion dans l'esprit de Bilou51, le problème n'a RIEN a voir avec le nombre.
La formule : Var(kX) = k².Var(X) est TOUJOURS VRAIE.
La formule : Var(X1+X2) = Var(X1)+Var(X2) n'est vraie que pour X1 et X2 indépendantes.
salut, juste une precision:
Var(X1+X2) = Var(X1)+Var(X2) peut etre vraie meme si X1 et X2 ne sont pas independantes.
Je voulais signifier : n'est vraie ici QUE parce que les variables sont indépendantes (selon l'énoncé).