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variance d'une somme de variables

Posté par
Witaek 07-06-20 à 11:21

Bonjour à tous. J'ai un petit soucis pour un exo sur les variables aléatoires.
Voici l'énoncé :

1. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes. Montrer que : V(X+Y) = V(X) + V(Y)

2. Plus généralement : Soient X1, ..., Xn des variables aléatoires réelles deux à deux indépendantes.
Montrer que :
V(X_1 + ... + X_n) = \sum_{k=1}^{n}{V(X_k)}

Pour la 1. je n'ai pas eu de difficulté, il suffit d'utiliser la formule de Koenig-Huygens, d'invoquer la linéarité de l'espérance et l'indépendance de X et Y.

Maintenant pour la 2. c'est une autre histoire. J'ai pensé à faire un récurrence mais je n'arrive pas à aboutir, il y a toujours un problème pendant l'hérédité. Les carrés de la formule de Koenig me gênent. J'ai aussi essayé de faire une preuve directe en passant par la définition de la variance, mais j'ai rencontré le même problème.

Pourriez vous m'aider ? Merci d'avance !

PS : à savoir que je n'ai pas vu le concept de covariance, je ne dois donc pas avoir à l'utiliser.

Posté par
GBZMre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 12:00

Quel problème rencontres-tu pendant l'hérédité ? Je n'en vois aucun
\\ \large X_1+\cdots+X_n+X_{n+1}= \left(X_1+\cdots+X_n\right)+X_{n+1}

Posté par
Witaekre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 12:29

Donc je pose pour tout n 2 la propriété :
P(n) : "Soient X1, ..., Xn des variables aléatoires réelles deux à deux indépendantes. On a V(\sum_{k=1}^{n}{X_k}) = \sum_{k=1}^{n}{V(X_k)}".

L'initialisation se fait toute seule avec la question précédente.

Hérédité : Soit n 2 tel que P(n). Montrons P(n+1).

On a  :
\sum_{k=1}^{n+1}{V(X_k)} = \sum_{k=1}^{n}{V(X_k)} + V(X_{n+1}) = V(\sum_{k=1}^{n}{X_k}) + V(X_{n+1})

D'après Koenig-Huygens :

V(\sum_{k=1}^{n}{X_k}) + V(X_{n+1}) = E((\sum_{k=1}^{n}{X_k})^2) -E(\sum_{k=1}^{n}{X_k})^2 + E(X_{n+1}^2) - E(X_{n+1})^2


Mais là je ne sais pas trop quoi faire pour avancer plus loin...

GBZM j'imagine que dans votre message vous insinuez que si
X_1 , ... , X_n, X_{n+1} sont indépendants deux à deux alors (X_1 + ... + X_n) et X_{n+1} sont indépendantes. Mais je n'ai, a priori, aucun résultat du cours qui permette de justifier l'indépendance entre une somme de variables et une autre variable (même si cela m'aiderait bien )...

Posté par
GBZMre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 13:55

Reviens à la définition de l'indépendance des variables aléatoires et démontre le résultat dont tu as besoin. Le cours n'a pas à être la liste exhaustive de tous les résultats du sujet.

Posté par
Witaekre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 14:11

Je vais creuser cette voie !

Il faudrait donc raisonner par récurence en montrant la propriété :

P(n) : "Soient X_1, ..., X_n des variables aléatoires réelles deux à deux indépendantes. \forall (i,j, k)\in [\![1;n]\!] , (X_i + X_j) \text{ et } X_k \text{ sont indépendantes.}

Suis-je sur la bonne piste ? J'avoue ne pas trop savoir comment m'y prendre.

Posté par
lionel52re : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 15:02

Hello ! Connais tu le résultat "fondamental"

Si tu as X1,X2,...Xn et Y1,...,Yp avec toutes les variables indépendantes alors pour n'importe quelles fonctions f et g assez regulieres (mesurables) on a f(X1,...Xn) et g(Y1,...Yp) qui sont indépendantes?


Ici f(X1,...Xn) = X1 + .... + Xn et
g(Xn+1) = Xn+1


Bref ce que je veux dire si tu connais pas le theoreme c'est que tu peux assembler un peu comme tu veux X1...Xn ça restera independant de Xn+1

Posté par
Witaekre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 15:22

Je connais un résultat un peu plus faible qui dit :

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes sur (, P), et f et g deux applications définies respectivement sur X() et Y(). Alors, les variables aléatoires f(X) et g(Y) sont indépendantes.

Mais j'imagine qu'il faudrait démontrer la généralisation pour que je puisse utiliser votre version lionel52 ?

Posté par
lionel52re : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 16:29

Bah c'est le même  théorème avec X = (X_1,...,X_n)

Posté par
Witaekre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 17:16

Mais dans cette proposition X est une variable aléatoire... X_1, ..., X_n c'est n variables. Je peux simplement étendre la proposition comme ça sans tien avoir à démontrer ?

Posté par
Witaekre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 17:26

Je suis complètement paumé là...

Posté par
lionel52re : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 17:33

Bah ici X serait une variable ou vecteur aleatoire de dimension n .

C'est quoi la def de n variables independantes dans ton cours?

Posté par
Witaekre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 17:38

X_1,...,X_n sont deux à deux indépendantes si pour tous entiers distincts i et j de [\![1, n ]\!], les variables aléatoires X_i et X_j sont indépendantes.

Posté par
lionel52re : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 17:59

Ah oui  c'est 2 a 2 independants... c'est une notion bizarre d'independance elle sert pas a grand chose.

Exemple : je lance 2 pieces
A : j'ai eu pile au premier lancer
B : jai eu pile au 2e
C : jai eu le meme resultat aux 2 lancers

On note X Y et Z les indicatrices de ces événements. Alors les v.a sont 2 a 2 independantes (tu peux le vérifier) mais il est évident quelles ne sont pas completement indep (par ex si je connais X et Y je connais automatiquement Z)

Revenons a lexo : va falloir developper la variance on peut pas utiliser le theoreme que jtai donné parce que les v.a sont pas vraiment independantes.

E[(X_1 + ... + X_n)^2] = \sum_i E[X_i^2] +  \sum_{i\neq j} E[X_iX_j]
= \sum Var(X_i) + \sum E[X_i]^2 +    \sum_{i \neq j} E[X_iX_j] \\ = \sum_i Var(X_i) + \sum_{i,j} E[X_i]E[X_j]  

Etc.

Posté par
Witaekre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 19:17

Merci beaucoup ! Effectivement, dans mon cours on différence bien l'indépendance deux à deux et l'indépendance mutuelle (c'est sans doute celle là que vous auriez aimé avoir).

Si je poursuis votre raisonnement :

V(X_1 + ... + X_n) = E((X_1 + ... + X_n)^2) - E(X_1 + ... + X_n)^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{E(X_k^2)} + \sum_{ i ,j =1, i\neq j}^{n}{E(X_iX_j)} - (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + \sum_{k =1}^{n}{(E(X_k)^2)} + \sum_{ i \neq j}^{n}{E(X_iX_j)}- (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + \sum_{i =1, j = 1}^{n}{E(X_i)E(X_j)} - (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + \sum_{i =1, j = 1}^{n}{E(X_iX_j)} - (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + E(\sum_{i =1, j = 1}^{n}{(X_iX_j))} - (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 - (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\= \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)}

Si on numérote les lignes de calculs de 1 à 8 on justifie :

1) s'obtient avec Koenig-Huygens
2) décomposition du carré + linéarité de l'esperance
3) Koenig-Huygens + linéarité de la somme
4) fusion des deux sommes
5) Xi et Xj indépendants donc E(XiXj) = E(Xi)E(Xj)
6)linéarité de l'esperance
7) réécriture de la somme

Vous validez ?

Posté par
lionel52re : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 19:26

Les calculs sont mal foutus a partir du 4

La ligne 4 tu as direct transformé E[XiXj] en le produit des esperances... tu as donc utilisé lindependance

Ensuite tu utilises mal la linearite et tu reviens sur tes pas en retombant sur E[XiXj]

Posté par
Witaekre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 20:09


Voilà donc j'ai modifié la 4e ligne, effectivement je fait également appel à l'indépendance.J'ai donc pu supprimer la 5e ligne, vous avez raison je suis revenu en arrière sans raison... Est-ce que cela est mieux ?

V(X_1 + ... + X_n) = E((X_1 + ... + X_n)^2) - E(X_1 + ... + X_n)^2 \\ \\ = \sum_{k =1}^{n}{E(X_k^2)} + \sum_{ i ,j =1, i\neq j}^{n}{E(X_iX_j)} - (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + \sum_{k =1}^{n}{(E(X_k)^2)} + \sum_{ i \neq j}^{n}{E(X_iX_j)}- (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + \sum_{i =1, j = 1}^{n}{E(X_iX_j)} - (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + E(\sum_{i =1, j = 1}^{n}{(X_iX_j))} - (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 - (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)}


1) s'obtient avec Koenig-Huygens
2) décomposition du carré + linéarité de l'esperance
3) Koenig-Huygens + linéarité de la somme
4) indépendance +  fusion des deux sommes
5) Xi et Xj indépendants donc E(XiXj) = E(Xi)E(Xj)
5)linéarité de l'esperance
6) réécriture de la somme

Posté par
lionel52re : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 20:21

Toujours pas je vois pas où tu as utilisé l'independance et pour rappel il ne faut pas avoir de E[XiXj] à la fin

Posté par
Witaekre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 20:39

Nouvel essai ! Merci de m'aider en tout cas !

V(X_1 + ... + X_n) = E((X_1 + ... + X_n)^2) - E(X_1 + ... + X_n)^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{E(X_k^2)} + \sum_{ i ,j =1, i\neq j}^{n}{E(X_iX_j)} - (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + \sum_{k =1}^{n}{(E(X_k))^2} + \sum_{ i \neq j}^{n}{E(X_iX_j)}- (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + \sum_{i =1, j = 1}^{n}{E(X_i)E(X_j)} - (E(\sum_{k =1}^{n}{X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + \sum_{i =1, j = 1}^{n}{E(X_i)E(X_j)} - (\sum_{k =1}^{n}{E(X_k}))^2 \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)} + \sum_{i,j =1}^{n}{E(X_i)E(X_j)} - \sum_{i,j=1}^{n}{E(X_i)E(X_j)} \\ = \sum_{k =1}^{n}{V(X_k)}

1) s'obtient avec Koenig-Huygens
2) décomposition du carré + linéarité de l'esperance
3) Koenig-Huygens + linéarité de la somme
4) indépendance +  fusion des deux sommes
5)linéarité de l'esperance
6) réécriture de la somme

Posté par
Witaekre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 20:42

PS : à la 3ème ligne le deuxième terme devrait être  : \sum_{k=1}^{n}{(E(X_k)^2)} le carré est mal placé à cause d'une faute de frappe !

Posté par
lionel52re : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 21:10

Ca a l'air ok!

Posté par
Witaekre : variance d'une somme de variables 07-06-20 à 21:14

Waw on y est !! Merci beaucoup pour votre aide !
Bonne continuation


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