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Niveau Licence Maths 1e ann
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Variation totale d'une fonction

Posté par
Fractal
20-10-13 à 15:58

Bonjour,

J'ai besoin d'être éclairé sur une notion dont je ne comprends pas (encore) l'intérêt  dans le cadre de la convergence simplet et/ou uniforme.

On me dit :

Soit f:[a,b]\rightarrow \C de classe C^1 par morceaux où :

f:[t_{k-1},t_k]\rightarrow \C de classe C^1 pour chaque 1\leq k\leq n avec a=t_0<t_1<...<t_n=b subdivision de [a,b]\subset \R

On me demande : que vaut la variation totale VT(f,[a,b]) ?

Je ne comprends pas.

Posté par
carpediem
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 16:04

salut

quelle est la définition de la variation totale d'une fonction ?

Posté par
Fractal
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 16:10

Carpediem, je vias vraiment avoir besoin de toi.
Je regarde mon cours et les exos, c'est de la "barbarie" : théorème de helly, de Dini, construction de Cantor, Hermite, Tchebychev .....
C'est la totale panique ....

Posté par
carpediem
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 16:13

parce que tu retombes dans le même travers qu'avant ....

tu veux tout faire en même temps et tu mélanges tout :: concentre toi sur ce pb ....

Posté par
Fractal
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 16:25

La variation totale d'une fonction :

VT(f,I)=sup\underset{1\leq k\leq n}\Sigma\mid f(t_k)-f(t_{k-1})\mid:t_0<t_1<...<t_n\in I

donc si on a une fonction f croissante, ou décroissante, je comprends que l'on ait :

VT(f,I)=\mid \underset{I}sup f-\underset{I}inf f \mid

Posté par
carpediem
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 16:39

dans la définition tu fais une confusion avec les ti qui sont déjà utilisés dans la définition de f ...

écrire plutôt ::

Soit f:[a,b]\rightarrow \C de classe C^1 par morceaux où :

Citation :
f:[t_{k-1},t_k]\rightarrow \C de classe C^1 pour chaque 1\leq k\leq n avec a=a_0<a_1<...<a_n=b subdivision de [a,b]\subset \R


et

Citation :
VT(f,I)=sup\underset{1\leq k\leq n}\Sigma\mid f(t_k)-f(t_{k-1})\mid:t_0<t_1<...<t_n\in I

Posté par
carpediem
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 16:40

car VT(f, I) est le sup sur toutes les subdivisions possibles ...

Posté par
Fractal
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 16:49

Ah effectivement, c'est plus clair.

Donc :
- j'ai un intervalle
- je le subdivise
- la variation totale est la somme, en valeur absolue, de la différence des valeurs des ordonnées successives correspondant aux points de subdivisions.

C'est cela ?

Posté par
Fractal
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 16:54

Je suis en train de regarder cela :

Posté par
carpediem
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 17:24

oui ....

Posté par
carpediem
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 17:28

et est-tu sur que c'est dans C ? car ça n'a guère d'intérêt dans C .... regarde ton lien ....

Posté par
Fractal
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 18:02

Si c'est de mon exo dont tu parles, c'est bien dans \C.

J'ai une piste concernant mon exo (et en partie mon topic), et j'essaye de comprendre la notion en creusant.

Posté par
Fractal
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 18:04
Posté par
carpediem
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 18:18

dans ton lien de 16h54 il parle de fonctions monotones ce qui n'a aucun sens dans C puisqu'il n'y a pas d'ordre ...

donc à mon avis il y a erreur .....

Posté par
carpediem
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 18:19

et je ne vois pas le lien avec ta piste ....

Posté par
Fractal
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 18:23

Dans mon lien de 16:54 je ne l'ai pas compris comme cela. Il parle de fonction monotone certes, mais à l'issue de la définition de la variation bornée et totale.

Pour l'autre lien, c'est ma piste pour calculer VT(f,[a,b])

Posté par
Fractal
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 18:27

Dis-moi Carpediem, on est bien d'accord que si une fonction est de classe C^1, elle est dérivable et sa dérivée est continue.

Je ne me trompe pas ?

Posté par
carpediem
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 18:40

non ....

voir par exemple ::  

Posté par
Fractal
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 18:43

Je vais regarder ton lien, mais une fonction peut-elle être non continue et de classe C^1 ? (sur un segmetn [a,b])

Posté par
Fractal
re : Variation totale d'une fonction 20-10-13 à 18:48

.... je crois que ton lien est en trin de m'éclairer sur la question.

Posté par
Fractal
re : Variation totale d'une fonction 23-10-13 à 13:11

Citation :
et je ne vois pas le lien avec ta piste ....


Je pense que j'ai saisi vers quoi aller à présent ==> Fonction C1 par morceaux

Je pense que cela répondra je pense aussi en partie à ton interrogation ci-dessus.

Encore merci Carpediem

Posté par
carpediem
re : Variation totale d'une fonction 23-10-13 à 13:18

de rien



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