Bonjour.
Pourriez-vous m'aider pour cet exercice ? Merci.
Un menuisier artisan est mandaté pour construire une boîte en bois, en forme de pavé droit, dans un coin de pièce chez un client. Il utilise pour cela trois panneaux de bois. Les dimensions de la boîte sont indiquées sur le schéma, où x ∈[0; 6]. L'artisan voudrait utiliser le plus de bois possible, alors que le client voudrait lui obtenir un volume maximal.
1.
a)Montrer que la surface est donnée par la fonction S telle que S(x) = -x² + 12x pour x ∈ [0 ; 6].
b)À l'aide d'un tracé de courbe, conjecturer quelle est la surface maximale et pour quelle valeur de x elle est atteinte.
c) Montrer que S(x) = -(x - 6)² + 36.
d)En déduire la démonstration de la conjecture faite au 1. b).
2. Exprimer le volume de la boîte V(x) en fonction de x.
3.L'artisan et le client parviendront-ils à trouver une valeur
de x qui convienne à chacun ?
Mes réponses :
1.
a)Montrer que la surface est donnée par la fonction S telle que S(x) = -x 2 + 12x pour x ∈ [0 ; 6].
La surface d'un pavé droit se calcul avec la formule S = 2Ll + 2Lh + 2lh. (L : longueur, l : largeur, h : hauteur)
Ici S(x) = 2(6-x)(x) + 2((6-x)(x) + 2(xx)
= -2x² + 24x
Or dans l'énoncé, on nous dit : S(x) = -x² + 12x . Pourriez-vous m'aider ? Je ne comprends pas, sauf si il faut prendre en compte uniquement les faces visibles du pavé droit .....
b)À l'aide d'un tracé de courbe, conjecturer quelle est la surface maximale et pour quelle valeur de x elle est atteinte.
Il s'agit d'une parabole orientée vers le bas. Son sommet est atteint pour x= 6. La surface sera alors de 36. Est-ce exact ?
c) Montrer que S(x) = -(x - 6)² + 36.
On développe -(x-6)² + 36
= -[(x-6)(x-6)] + 36
= -(x²-6x - 6x +36) +36
= -x² + 6x +6x -36 + 36
= -x² +12x
On a bien montré que -(x - 6)² + 36 = -x² +12x
Est-ce exact ?
d)En déduire la démonstration de la conjecture faite au 1. b).
La conjecture faite au 1.b) est que la surface max sera atteinte pour x=6 et sa valeur sera de 36
On calcul donc S(6) ?
S(6) = -(6-6)² +36
= 36
2. Exprimer le volume de la boîte V(x) en fonction de x.
Le volume d'un pavé droit se calcul avec la formule V = L * l * h
Ici V(x) = (6-x) *x*x
= x² * (6-x)
Est ce exact ?
3.L'artisan et le client parviendront-ils à trouver une valeur
de x qui convienne à chacun ?
J'ai tracé les 2 courbes (S(x) et V(x)) sur le même graphique. Mon idée était de trouver pour quelle valeur de x , la surface ET le volume seront les plus important. Mais je ne suis pas sûr ???? De choisir le point d'intersection des 2 courbes ????
Sur le graphique, on voit que c'est le point de coordonnées x = 4.
Doit on faire la démonstration mathématiquement ? Si oui, comment ?
Merci pour votre aide et vos conseils
Bonjour
Il ne semble pas que l'on mette du bois cotre le mur
Oui, le maximum est atteint pour x=6 et S(6)=36.
Oui, mais on peut aussi utiliser les identités remarquables
d)On a donc la forme canonique de S, donc le sommet de la parabole est
Bonjour,
Il faut visualiser que le coffre est placé dans un angle de la pièce dont les 2 murs et le sol constituent 3 des 6 faces du coffre d'où la valeur moitié de l'aire que tu as trouvée (tes calculs sont par ailleurs exacts)
N'y a-t-il pas une condition ?
On montre que la plus grande superficie de bois est justement celle où il n'y a plus de boîtes.
Ce que vous proposez paraît correct : une comparaison graphique, la résolution algébrique n'étant pas possible.
Sur on a deux points communs
En rouge S et en noir V
On peut remarquer que le client a son vœu exaucé puisqu'il a obtenu un volume maximum pour x=4
Aux vues des courbes, peut on donc conclure que le client ET le menuisier trouveront tous les deux un accord pour x=4 ? Le volume Et la surface seront maximales ?
Merci
La volonté du menuisier d'avoir la plus grande utilisation de bois est impossible à satisfaire puisque cela voudrait dire qu'il n'y a plus de boîte.
6-6=0 pour la troisième dimension.
Graphiquement, on peut constater que le client verra sa demande satisfaite pour x=4. C'est, par conséquent, pour cette valeur qu'ils pourraient se mettre d'accord.
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