Bonjour.
Pourriez-vous m'aider pour cet exercice ? Merci.
Un menuisier artisan est mandaté pour construire une boîte en bois, en forme de pavé droit, dans un coin de pièce chez un client. Il utilise pour cela trois panneaux de bois. Les dimensions de la boîte sont indiquées sur le schéma, où x ∈[0; 6]. L'artisan voudrait utiliser le plus de bois possible, alors que le client voudrait lui obtenir un volume maximal.
1.
a)Montrer que la surface est donnée par la fonction S telle que S(x) = -x² + 12x pour x ∈ [0 ; 6].
b)À l'aide d'un tracé de courbe, conjecturer quelle est la surface maximale et pour quelle valeur de x elle est atteinte.
c) Montrer que S(x) = -(x - 6)² + 36.
d)En déduire la démonstration de la conjecture faite au 1. b).

2. Exprimer le volume de la boîte V(x) en fonction de x.

3.L'artisan et le client parviendront-ils à trouver une valeur
de x qui convienne à chacun ?

Mes réponses :
1.
a)Montrer que la surface est donnée par la fonction S telle que S(x) = -x 2 + 12x pour x ∈ [0 ; 6].
La surface d'un pavé droit se calcul avec la formule S = 2Ll + 2Lh + 2lh.  (L : longueur, l : largeur, h : hauteur)
Ici S(x) = 2(6-x)(x) + 2((6-x)(x) + 2(xx)
               = -2x² + 24x
Or dans l'énoncé, on nous dit : S(x) = -x² + 12x . Pourriez-vous m'aider ? Je ne comprends pas, sauf si il faut prendre en compte uniquement les faces visibles du pavé droit .....

b)À l'aide d'un tracé de courbe, conjecturer quelle est la surface maximale et pour quelle valeur de x elle est atteinte.

Il s'agit d'une parabole orientée vers le bas. Son sommet est atteint pour x= 6. La surface sera alors de 36. Est-ce exact ?

c) Montrer que S(x) = -(x - 6)² + 36.
On développe -(x-6)² + 36
= -[(x-6)(x-6)] + 36
= -(x²-6x - 6x +36) +36
= -x² + 6x +6x -36 + 36
= -x² +12x
On a bien montré que -(x - 6)² + 36 = -x² +12x
Est-ce exact ?

d)En déduire la démonstration de la conjecture faite au 1. b).
La conjecture faite au 1.b) est que la surface max sera atteinte pour x=6 et sa valeur sera de 36
On calcul donc S(6) ?
S(6) = -(6-6)² +36
= 36

2. Exprimer le volume de la boîte V(x) en fonction de x.
Le volume d'un pavé droit se calcul avec la formule V = L * l * h
Ici V(x) = (6-x) *x*x
= x² * (6-x)
Est ce exact ?

3.L'artisan et le client parviendront-ils à trouver une valeur
de x qui convienne à chacun ?

J'ai tracé les 2 courbes (S(x) et V(x)) sur le même graphique. Mon idée était de trouver pour quelle valeur de x , la surface ET le volume seront les plus important. Mais je ne suis pas sûr ???? De choisir le point d'intersection des 2 courbes ????
Sur le graphique, on voit que c'est le point de coordonnées x = 4.

Doit on faire la démonstration mathématiquement ? Si oui, comment ?
Merci pour votre aide et vos conseils