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Variations fonction et Inégalité de Taylor-Lagrange
Bonjour, j'ai besoin d'une petite aide pour quelques points d'un exo:
voici l'énoncé :
Tout d'abord
Soit Mo = sup |f(x)| ... Mn = sup |f(x)|
Je dois établir que M1
2
(MoM2)
et j'ai déjà démontré que |f'(x)| (2Mo/h)+(M2h/2)
je dois donc étudier les variations de u(t) = (2Mo/t) + (M2t/2)
j'ai essayé de dériver mais je me suis embrouillé je pense, avez vous une idée ?
Ensuite :
on me dit d'utiliser la relation |f(x+h)-f(x)-hf'(x)| M2h2/2
et en l'appliquant pour h=t et h=-t, je dois montrer que
|f'(x)| (M0/t) + (M2t/2)
je n'y arrive pas ...
merci beaucoup pour votre aide
petite correction dans l'énoncé :
Soit Mo = sup |f(x)| ... Mn = sup |f(n)(x)|
merci de votre aide
Bonjour,
pour le "tout d'abord" :
Pour commencer tu peux multiplier par h et faire apparaître un trinôme ...ensuite que peux-tu conclure ?
merci pour ton aide
j'ai donc |h x f'(x)| (2Mo)+(M2/2)x h2)
soit u(t) = 2Mo + (M2/2) x t2
donc u croissante pour t>0 ...
mais je ne vois pas comment continuer pour arriver à l'inégalité que je dois démontrer ...
parceque si j'ai bien compris on cherche sup u(x) pour pouvoir trouver l'inégalité non ?
Bonjour rom1-91
Je ne comprends pas l'indication de hatimy.
Je te suggère de reprendre ton idée, qui était d'étudier la fonction qui à t>0 associe 2M_0/t + tM_2/2.
On en déduit que u admet un minimum pour (je n'ai vraiment le courage de taper le tableau de variation, et puis, ce n'est pas difficile).
On a donc:
Je me suis trompé. J'ai posté mon message avant de corriger les erreurs de frappe. u admet un minimum pour
Donc:
Il en est de même pour M_1
Avec mon indication il pouvait plus simplement obtenir un trinôme positif, ce qui signifie que le déterminant est positif aussi, et donc il conclut à l'inégalité recherchée !...
Tu vois un peux mon idée ?
merci à tous les deux.
Je viens juste de comprendre ce que tu voulais faire hatimy. désolé
pour la suite
j'ai trouvé :
f(x) M0
d'où en prenant h=t puis h=-t
j'ai
|f(x+t)-tf'(x)| M0 + M2t2/2
et
|f(x-t)+tf'(x)| M0 + M2t2/2
je vois qu'il fauda diviser par t mais avant je ne vois pas quoi faire pour f(x-t) d'une part et f(x+t) d'autre part ...
ben tu as quasiment tout trouver !
dans le premier cas par quoi peut tu majorer f'(x) si tu l'écris :
f'(x) = 1/t(tf'(x) -f(x+t) + f(x+t))?
Inspire toi de cela pour le deuxième cas !
Tu poses:
A=f(x+t)-f(x)-tf'(x)
B=f(x-t)-f(x)+tf'(x)
Tu sais que:
Donc:
Tu ne devrais pas avoir de mal à conclure
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