Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Variété de dimension 0 ?
Bonsoir !
On introduit de manière assez intuitive les variétés dans le livre que je suis en train d'étudier. On dit qu'une variété de dimension n est un espace qui ressemble localement à un ouvert de . Par définition,
. Mais alors l'auteur affirme qu'une variété de dimension 0 est donc un ensemble de points dont le voisinage ressemble à un seul point ; c'est donc une collection de points isolés.
Je ne comprends pas cette affirmation. Si le voisinage ressemble à un seul point, et qu'un singleton dans est un fermé, n'y a-t-il pas contradiction avec le fait que l'espace doit ressembler localement à un ouvert de
?
Merci !
Bonsoir,
Il y a peut-être une volonté de généralisation excessive à vouloir définir une variété de dimension 0, au risque comme tu le soulignes d'une contradiction avec la définition classique d'une variété...
Bonjour,
Si on enlève la frontière d'un fermé on obtient un ouvert
Un point isolé est un fermé qui privé de sa frontière est l'ensemble vide or le vide en topologie est un ouvert.
Bonjour AFairJudgement
Je ne comprends pas cette affirmation. Si le voisinage ressemble à un seul point, et qu'un singleton dans \mathbb{R}^nest un fermé, n'y a-t-il pas contradiction avec le fait que l'espace doit ressembler localement à un ouvert de \mathbb{R}^n ?
Et localement, tes points isolés ont bien la tête de
Quand on définit la sous-variété de dimension k, on te dit qu'on peut le difféomorpher à un ouvert du sous-plan de
Donc, si l'on prend par exemple une sous-variété de dimension 2 dans
Donc dans le cas où k = 0, la sous-variété dans
Je suis un peu perdu
Oups, remplacez
Je crois comprendre que la notation
Je crois comprendre que la notation
Bonjour à tous.
Oui, tu as bien compris! Une sous-variété de dimension 1 est quelque chose qui ressemble localement à un ouvert de , c'est-à-dire à une courbe. Une sous-variété de dimension 0 ressemble localement à un ouvert du R-espace vectoriel de dimension 0, c'est-à-dire à {0}...
>LeHibou Non, ce n'est pas excessif, de vouloir définir une sous-variété de dimension 0, ne serait-ce que pour pouvoir énoncéer des théorèmes du genre un produit de sous-variétés de dimensions m et n est une sous-variété de dimension m+n, sans faire trop d'exceptions...
Comme je ne peux pas m'empêcher de semer le doute... Et ? Est-ce une sous-variété? de quelle dimension?
Bonjour,
Je confirme ce que Camélia a dit. Sauf que pour le cas k=0 tu as bien un difféomorphisme de vers le 0 de
(c'est juste les même sev de dimensions 0 respectivement mais "plongé" dans des espaces différents) et donc vers l'espace vectoriel nul. Ce qui respecte la définition.
Pour la question de Camélia, on pose en fait que vide est une sous-variété de dimension -1. Je ne peux pas tellement vous en dire plus (j'avais posé la question à un prof qui n'a pas sur me répondre précisément). Dans le livre il était écrit, il semble naturel de dire que vide est une sous-variété (ça peut encore se concevoir car vide est un ouvert) de dimension -1. Je ne vois même pas ce que peut représenter un -1 en tant que dimension d'EV (ce qui aiderait à se forger une intuition) donc encore moins pour une sous-variété. On peut évidement sentir qu'on sera inférieur à 0 (parce que 0 c'est les points isolés) mais pour moi il n'y a pas plus de raison que se soit -1;-10 ou -infini.
Merci à tous, c'est très enrichissant !
Une sous-variété de dimension 0 ressemble localement à un ouvert du R-espace vectoriel de dimension 0, c'est-à-dire à {0}...
Mais qu'est-ce qu'un ouvert de {0} ? L'ensemble vide en est évidemment un, mais parle-t-on de l'ensemble vide ou de {0} lui-même ? Que veut dire "ressemble localement à l'ensemble vide ou à {0}" ?
Attention quand on dit qu'on peut difféomorpher à un ouvert! Il est sous-entendu un ouvert non vide! ça n'a pas de sens de difféomorpher un ensemble non vide et un ensemble vide!
Donc pour être difféomorphable à {0} bah le seul moyen c'est d'être un point (par n'importe quelle application différentiable à réciproque différentiable. Topologiquement {0} a pas une tête super compliquée. C'est juste un point! Ressembler localement à {0} (et non pas vide car on doit ressembler à un ouvert non vide) près de x signifie que tu as un voisinage d'un point x de A et un voisinage autour de 0 (ce voisinage ne peut donc être que {0}) et un difféomorphisme entre voisinage de x inter A et {0}. Vu que t'as un difféo, tu ne peux qu'avoir un point dans le voisinage de x inter A (un difféo est en particulier une bijection). Si donc on a fait l'hypothèse que A est une sous-variété de dimension 0 en chacun de ses points, ça nous implique bien que A est discret (pour chaque point de A, on a un voisinage qui ne contient que ce point de A)......
Sinon, la signification de "ressemble localement" est la même pour toutes les dimensions....
Encore moi! En effet, il est raisonnable de dire que le vide est une sous-variété, et moi j'ai toujours vu de dim mais c'est vrai que -1 fait aussi l'affaire... il faut juste que ce soit strictement inférieur à toute dimension positive... toujours pour rendre chérents certains théorèmes!
Oui j'aurais dit la même chose que Camélia pour -oo. Mais l'idée étant que la dimension de vide doit être négative strictement, -1 est une sorte de convention qui semble plus correspondre. A mon avis, si on trouve une définition qui donne un sens précis et rigoureux à la "dimension négative" (pour les sous-variétés) et qui coïncide avec la notion positive, on re-postulera (pour la dimension de vide) ce qui correspondra à la nouvelle définition (-1 ou -oo).
En attendant ce n'est qu'une convention...
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac