Bonjour,

quel rapport entre ta droite (d) qui sort d'on ne sait où et ce qu'on demande sur le plan (ABC) ??
à mon avis aucun...

Le lien est que H appartient a (d)  et que dans ma question on cherche à montrer que H est dans le plan ABC

oui et ???
des droites qui contiennent H il y en des tas
et même des droites orthogonales à (ABC) comme celle là
surtout si elles ont été fabriquées exprès pour passer par H !
et ça ne dit rigoureusement rien du tout de l'appartenance de H au plan (ABC) ou pas
ce n'est pas avec une telle droite que tu vas prouver ce qu'on demande

tu as plusieurs façons correctes de le faire :

prouver que les vecteurs par exemple , (A = un point connu du plan), et sont coplanaires
c'est à dire qu'il existe des réels a et b tels que
ou avec des déterminants pour traduire la même chose

ou écrire l'équation du plan et vérifier que les coordonnées de H satisfont à cette équation

ou choisir un vecteur normal au plan (ABC) et écrire que par exemple est orthogonal à (encore une fois A un point connu du plan !)
ça revient à faire les deux en même temps vu que pour écrire l'équation du plan on peut traduire que pour tout point M(x; y; z) de ce plan , la encore avec un point A connu du plan.

pas ton point (0; 1; 4) qui t'a servi de base à ta droite, tiré d'un chapeau ...

illustration de ce que tu as fait avec ta droite (d) :



tu as construit ta droite comme étant la droite (PH) avec un vecteur normal au plan
(et évidemment qu'elle passe par H vu qu'elle a été construite pour que avec t = 1 ça donne les coordonnées de H !!)

tu ne peux rien prouver du tout concernant la position relative de H et de (ABC) avec ça !