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Vérification groupe inversible
J'ai besoin de commentaire sur mes réponses et me dire si possible si c'est juste ou non :
Soit le groupe ( Z/13Z )* des éléments inversibles de l'anneau Z/13Z.
1) Le groupe (Z/13Z)* est il cyclique ? Quel est son ordre ?
Oui c'est un groupe cyclique il est engendré par un seul éléments, et le groupe est d'ordre
(13) = 12.
(Je me demande si on peut dire que (Z/13Z)* est un sous groupe de (Z/13Z,+) ?? )
2) Combien le groupe (Z/13Z)* admet-il de sous groupes d'ordre 2 et 6 ? Ces groupes sont ils cycliques ?
Il admet un unique sous groupe d'ordre 2 et d'ordre 6 qui sont cycliques ( un sous groupe d'un groupe cyclique est cyclique )
3) Déterminer ces sous groupes et leurs générateurs.
Ordre 2 : générateur 2- (classe de 2)
Ordre 6 : générateur 6- (classe de 6)
4) Montrer que dans Z/13Z les racines du polynome X4 + X2 + 1- sont toutes des carrés et déterminer ces racines ( Je n'y arrive pas )..
Cordialement, Richard
Bonjour
Oui, il est bien cylique, mais comment le sais-tu?
Non, bien sur N'EST PAS un sous-groupe de
2) OK
3) FAUX.
4) Remarque que l'équation est équivalente à
et
.
Ses racines sont donc parmi les éléments d'ordre 6.
Arf j'ai oublier la méthode pour trouver les générateurs alors, pouvez me la rappeler s'il vous plait..
Merci d'avoir pris du temps pour me corriger.
Et pour les equations comment avez vous trouver cela ? je ne comprends pas la démarche.
salut
pour compléter/corriger ::
un sous-groupe possède la même loi et le même neutre ...
on cherche x tel que x2 = 1
1 + x2 + x4 est une série géométrique ... (je pense que Camélia a fait une erreur de signe ...)
1+X2+X4 = 1-(X2)3/1-X2
donc X2
1 et X6=1
On recherches les éléments qui sont d'ordre 6 mais pas d'ordre 2.;
C'est ca ??
1 + x2 + x4 = 0 <==> (1 - x2)(1 + x2 + x4) = 0 et 1 - x2 <> 0 <==> 1 - x6 = 0 et 1 - x2 <> 0
<==> x est d'ordre 6 et pas 2 ....
Oui c'est ce que j'ai écrit ^^ je l'ai fait avec les sommes des premiers termes d'une suite géométrique de raison x² et de premier terme 1.
Z/13Z est un corps car Z est premier, et en général le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.
Si tu ne connais pas ce résultat, tu peux aussi prendre un élément quelconque de (Z/13Z)* et calculer ses puissances successives pour vérifier qu'elles parcourent bien tout le groupe.
Et pour la question 3. LE sous groupe d'ordre 2 est engendré par 1 c'est ca c'est en fait {1,2}
Mais pour le sous groupe d'ordre 6 ???
en général le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.
Et on a même un résultat encore plus puissant : pour un corps K quelconque (pas nécessairement fini), tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif K* est cyclique.
Et pour la question 3. LE sous groupe d'ordre 2 est engendré par 1 c'est ca c'est en fait {1,2}
Mais pour le sous groupe d'ordre 6 ???
Eh bien, prends un élément et regarde s'il engendre un sous-groupe d'ordre 6. Si non, prends-en un autre...
J'ai lu quelque part que les éléments de (Z/13Z)* ne sont autre que les générateurs du groupe (Z/13Z, +) Est ce vrai ??
Alternativement, trouve un générateur de (Z/13Z)*, et tou auras terminé. Le sous-groupe d'ordre 2 sera généré par
, et le sous-groupe d'ordre 6 par
.
J'ai lu quelque part que les éléments de (Z/13Z)* ne sont autre que les générateurs du groupe (Z/13Z, +) Est ce vrai ??
Oui, mais ça ne te sert à rien ici...
= classe de 1 est un générateur de Z/13Z * donc
le sous groupe d'ordre 2 sera engendré par la classe de 6 et le sous groupe d'ordre 6 par la classe de 2???
Ow ca m'enerve je comprends rien avec ces histoires de groupe inversibles.
Déjà j'aimerai bien connaitre les éléments de Z/13Z* ca m'aiderait.
Ce sont les éléments inversible de l'anneau Z/13Z c'est ca .. = l'identité je comprends pas c'est pas une application ..
Quand on dit "l'identité" en théorie des groupes ça veut dire l'élément neutre. (Tu remarqueras que chaque élément d'un groupe induit une permutation du groupe par multiplication - à droite ou à gauche, au choix - et que l'élément neutre induit la permutation identité. 
)
Oui, ce sont bien les éléments inversibles de Z/13. Quels sont-ils ?
On est bien d'accord que tous les générateurs de Z/nZ sont tous les entiers strictement inférieurs à n qui sont premiers avec n.
Donc les générateurs de Z/13Z sont tous les entiers inférieurs ou égal a 12 car 13 est premier.
ouf ça cause
il existe un sous-groupe d'ordre 2 donc {1, a} avec a <> 1 et a2 = 1
il n'est pas difficile de calculer les carrés de 1 à 12 modulo 13
Les générateurs de Z/13Z sont les (classes des) entier de 1 à 12. (La classe de) 0 ne peut pas être un générateur puisque c'est l'identité.
Et on a d'après Bezout que les générateurs du groupe Z/nZ sont exactement les (classes des) entiers premiers avec n, donc ce sont également les inversibles de l'anneau Z/nZ, et donc les éléments du groupe (Z/nZ)*.
(20:33) gp > a = Mod(2,13)
%1 = Mod(2, 13)
(20:33) gp > a^4
%2 = Mod(3, 13)
(20:33) gp > a^3
%3 = Mod(8, 13)
(20:33) gp > a^12
%4 = Mod(1, 13)
C'est juste.
Ce ne sont pas des notations, c'est ce que me donne GP quand je l'ai utilisé pour vérifier. Mais je t'accorde que j'aurais pu faire sans. 
Donc finalement (Z/13Z)* = <2>
sous groupe d'ordre 2 = <12>
sous groupe d'ordre 6 = <4>
C'est bien ca ?
Juste pour une autre fois! le sous-groupe d'ordre 2 est toujours (pour p impair) engendré par -1. Ici, -1=12
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