Niveau maths spé

Vérification solution oral X

Posté par
lemma91 20-10-24 à 17:34

Bonjour à toutes et tous,
J'ai fait un exercice d'oral de l'X récemment (trouvé dans une feuille d'exos) et je pense avoir trouvé une solution, mais je ne comprends pas l'intérêt d'une hypothèse et j'ai l'impression de démontrer quelque chose de plus fort que ce qui est demandé.
Aussi douté-je de ma solution car ces exercices n'ont en général aucune hypothèse de trop...
Voici l'exercice: Soit $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de points de $[0,1]²$ . Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que, pour tout permutation $\sigma \in \mathfrak{S}(\mathbb{N})$ , il existe une fonction continue $f:[0,1] \to [0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t_n)\$ d'éléments de [0,1] telle que $f(t_n) = x_{\sigma (n)}$ pour tout $n\geqslant 0$ .

Ma proposition de solution:

Je commence par démontrer un petit lemme utile.

Lemme: Soit E un espace vectoriel normé et ||.|| sa norme.

Soit $(u_n)$ une suite convergeant  vers $\alpha \in E$ .
Alors pour toute application $\varphi$ de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ telle que pour tout $n\in \mathbb{N}$ ,
$\varphi ^{-1}{(\{n\})}$ est fini,la suite $(u_{\varphi(n)})$ converge vers $\alpha$ .

Démonstration: assez simple en revenant aux epsilons.

Soit $\epsilon >0.$
Considérons $A = \{n \in \mathbb{N} | ||u_n - \alpha|| > \epsilon\}$ . Par convergence de la suite $(u_n)$ il est clair que $A$ est fini.

On pose $B = \{n \in \mathbb{N} | ||u_{\varphi(n)} - \alpha|| > \epsilon\}$ . Il est clair que $\varphi (B) \subseteq A$ ,
donc $\varphi(B)$   est un ensemble fini.

Or $B \subseteq \varphi^{-1}(\varphi(B)) = \cup_{y \in \varphi(B)} \varphi^{-1}(\{y\})$ donc   $B$ est fini comme union finie d'ensemble finis (cf. hypothèse).

D'où le résultat.

[/tex]

Ensuite, une analyse rapide montre que si une fonction et une suite conviennent, $(x_\sigma(n))$ est nécessairement convergente ie (lemme) $(x_n)$ est convergente.

La synthèse a été un peu plus compliquée.
Supponsons $(x_n)$ convergente.

Soit $\sigma \in \mathfrak{S}(\mathbb{N})$
Je pose (et c'est cela qui m'étonne, $(t_n)$ ne dépend pas de $\sigma$ dans ma construction):
$t_n = 1-\frac{1}{2^n}$ . Cette suite est bien strictement croissante, à valeurs dans [0,1].

Maintenant, il est facile de voir que $[0,1[ = \cup_{n\in N} [t_n, t_{n+1}]$ .
Je définis alors $f$ sur tout segment de cette "décomposition" de la manière suivante. Soit $t \in [0,1[$ . Il existe $n$ tel que $t \in [t_n, t_{n+1}]$ .
Je pose alors $f(t) = (1-\lambda) x_{\sigma(n)} + \lambda x_{\sigma(n+1)}$ où $\lambda = \frac{t-t_n}{t_{n+1}-t_n}$

Il est alors évident que $f$ est continue sur $[0,1[$ .
et que $\forall n \in \mathbb{N} f(t_n) = x_{\sigma(n)}$ .

Je pose enfin $f(1) = \lim {x_n}$ (la limite existe par hypothèse) et il me reste à montrer que $f$ est continue en $1$ .

Pour cela je considère une suite $(u_n)$ convergeant vers $1$ .Je vais montrer que $f(u_n)$ tend vers $f(1)$ . Quitte à extraire on peut supposer que $(u_n)$ ne contient aucun terme égal à $1$ (en extrayant on a autrement une sous-suite constante à 1 pour laquelle il n'y a rien à faire et une autre sous-suite dont on veut montrer qu'elle converge vers la même limite).
Comme $(u_n)$ est à valeurs dans $[0,1[$ je peux construire par récurrence une fonction ( $\varphi$   (un peu comme une extractrice à la Bolzano-Weierstrass, mais pas strictement croissante a priori) qui à un rang $n$ associe le "numéro" du segment $[t_{\varphi(n)},t_{\varphi(n+1)}]$ contenant $u_n$ .

On voit alors que $\varphi$ satisfait l'hypothèse du lemme. En effet, dans le cas contraire
il y aurait une infinité de termes de la suite $(u_n)$ dans le même segment,donc on pourrait par Bolzano-Weierstrass construire une sous-suite convergeant vers un élément de ce segment, ce qui est absurde car $(u_n)$ converge vers $1$ .

Comme $f(u_n) =  (1-\lambda_n) x_{\sigma \circ \varphi(n)} + \lambda_n x_{\sigma\circ \varphi(n+1)}  = x_{\sigma \circ \varphi(n)}+ \lambda_n(x_{\sigma \circ \varphi{(n+1)}}-x_{\sigma\circ \varphi(n)}) \\$ où $\lambda_n = \frac{u_n-t_{\varphi n}}{t_{\varphi(n+1)}-t_{\varphi(n)}}$ ,que la suite $(\lambda_n)$ ainsi construite est bornée,et que $\sigma \circ \varphi$ vérifie l'hypothèse du lemme, on a le résultat.

Mes questions sont les suivantes :
-La démonstration est-elle correcte ?
- Le cas échéant, quel est le rôle de l'ensemble d'arrivée ? Il ne sert à rien de préciser [0,1]² si c'est vrai pour tout EVN.

Posté par re : Vérification solution oral X 20-10-24 à 22:34

Je viens de réaliser que j'ai un petit problème de parenthèses entre sigma et phi, mais a priori cela n'invalide pas mon raisonnement, il faut juste appliquer deux fois le lemme avec deux fonctions à peine différentes.

Posté par re : Vérification solution oral X 21-10-24 à 12:39

Ca m'a l'air de fonctionner ton idée.
Tu es juste en train dans l'ordre:
- de dire que si x converge alors $x\circ \sigma$ aussi, pour toute permutation $\sigma$
- de poser $y = x\circ\sigma$ et de te donner une suite t strictement croissante de [0,1]
- d'associer deux à deux les élements de ces deux suites, c'est-à-dire introduire une fonction $F : [0,1]^\N \to \left([0,1]^2\right)^\N$ telle que $F(t_n) = y_n$
- de tracer des segments dans $\R^2$ entre les points successsifs de la suite $((t,F(t)))_n$ ; construisant ainsi une instance d'une généralisation de la notion de fonction affine par morceaux, avec un nombre infini dénombrable de morceaux
- d'appeler cette interpolation f
- de montrer que f est prolongeable par continuité en 1
- de dire ensuite fort logiquement que la restriction de f à la suite t que tu as utilisée pour la construire, coincide avec y

La subtilité résidant dans
- le fait que t est strictement croissante, ce qui garantit que tous les $(t_n,F(t_n))$ sont distincts et même que la suite $(t_n, F(t_n))$ est strictement croissante pour l'ordre lexicographique
- le fait que toute l'information au sujet de y (et donc de σ) a été placée dans la définition de F, puis de f ; la fonction t ne servant finalement que de point d'appui. Autrement dit, c'est le couple (f, t) qui dépend de σ et pas forcément les deux projections f et t individuellement
- et dans le fait que le coeur de ta preuve, qui est une interpolation convexe, ne fonctionne que si y converge (utilisation de Bolzano-Weierstrass + contradiction)

Tu peux remarquer que f n'est pas forcément unique a priori, puisqu'il n'y a pas de bijection strictement croissante entre N et Q, donc tu ne peux pas immédiatement dire que tout prolongement coinciderait avec f sur un ensemble dénombrable et dense, entrainant son égalité avec f (R est séparable).

Ton lemme fonctionne pour tout espace euclidien E. Tu peux quasi-immédiatement étendre le résultat entre n'importe quels segments par translation-dilatation, mais je ne pense pas que cette preuve s'étende à R². Il doit y avoir quelque chose qui bloque à cause du fait que [0,1]² et [0,1] sont en bijection comme ensembles mais pas homéomorphes.

Posté par re : Vérification solution oral X 21-10-24 à 12:41

Désolé double post, les $F(t_n)$ sont évidemment partout des $F(t)_n$

Posté par re : Vérification solution oral X 26-10-24 à 15:25

Merci Ulmiere. Nous sommes d'accord.

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