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Vérifier que -1 < f(x) < 1

Posté par
hbx360
11-05-22 à 14:40

Bonjour,

J'ai l'exercice suivant :

f(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

Vérifier que pour tout réel x \epsilon R, -1 < f(x) < 1

Je ne sais pas comment faire.
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 11-05-22 à 14:52

Bonjour,
La double inégalité est équivalente à celle qu'on obtient en multipliant les trois membres par \; ex + e-x \; qui est positif.

Posté par
co11
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 11-05-22 à 15:34

Bonjour,
j'ai peur d'intervenir à mauvais escient, tu me diras Sylvieg
ne serait-il pas plus simple d'étudier le signe des différences :
f(x) - 1 et f(x) - (-1) = f(x) +1

Posté par
hbx360
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 11-05-22 à 16:09

Donc la démarche mathématique serai de mettre tout au même dénominateur et donc de multiplier -1 et 1 par

e^{x}+e^{-x}

Ce qui donnerai :

-(\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}) < \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} < \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

et ensuite de supprimer le dénominateur :

-({e^{x}+e^{-x}}) < e^{x}-e^{-x} < e^{x}+e^{-x}

Mais je ne vois pas en quoi faire cela permet de vérifier, de dire qu'on à vérifier la double inégalité ?

Posté par
co11
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 11-05-22 à 16:52

Tu es parti sur l'idée de sylvieg, restons en là.
regarde chaque inégalité séparément

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 11-05-22 à 20:49

Bonsoir,
@co11,
Tu as eu raison d'intervenir co11.
@hbx360, quand on ne sait pas quoi faire pour démontrer une inégalité du type A < B, une méthode qui marche vraiment très souvent est d'étudier le signe de B-A, en espérant trouver que c'est positif.
Tu peux le faire pour démontrer
-1 < f(x) et f(x) < 1.
Ou pour démontrer
-({e^{x}+e^{-x}}) < e^{x}-e^{-x} \; et \;  e^{x}-e^{-x} < e^{x}+e^{-x}

Une remarque : On ne supprime pas le dénominateur ; on multiplie par un réel positif.
Et si tu utilises cette piste, il faudra rédiger en démontrant d'abord
-({e^{x}+e^{-x}}) < e^{x}-e^{-x} < e^{x}+e^{-x}.
Puis conclure en expliquant que tu divises par le réel positif e^{x}+e^{-x} les trois membres des inégalités.

Posté par
hbx360
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 09:09

D'accord mais voilà le problème c'est que je ne sais pas faire ce type d'exercice donc comment rédige t-on, comment si prend t-on.

Si vous pouviez me montrer sur cette exemple la résolution de l'exercice avec la rédaction parce que là je sais pas quoi mettre.

Je sais même pas si la démarche que j'ai commencé pour résoudre cette exo est la bonne.

Attention je rappel, je suis autodidacte, je ne cherche pas à ce que l'on fasse les exo à ma place, mais là je ne sais pas ou chercher pour trouver des cours qui montre la démarche à suivre pour résoudre ce type d'exo avec rédaction.

Si vous avez des liens je suis preneur ; dans mon livre il n'y a pas de cours sur ce type d'exo et la correction est trop succincte et trop obscure pour moi, pour comprendre la démarche de résolution.

Posté par
carpediem
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 09:36

salut

en l'absence des précédents intervenants qui reprendront la main quand ils le veulent ...

dans ta situation le plus simple et de suivre ce que préconise

co11 @ 11-05-2022 à 15:34

ne serait-il pas plus simple d'étudier le signe des différences :  f(x) - 1 et f(x) - (-1) = f(x) +1


plus généralement quand on veut montrer que f(x) < g(x) on étudie le signe de la différence g(x) - f(x)

et pour étudier le signe d'une expression on la factorise si nécessaire ...

voir par exemple ici conseils pour comparer deux nombres et quatre exercices d'application et ici Etude de la position relative de deux courbes

avec tout ça tu devrais y arriver ...

Posté par
alb12
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 16:08

salut,
un poil plus court: majorer |f(x)|

Posté par
co11
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 16:21

Tu crois vraiment ? La valeur absolue n'est pas si simple

Posté par
alb12
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 16:26

on se contente de la majorer

Posté par
co11
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 16:32

Pour le moment, j'en reste à la piste proposée par Sylvieg et suivie par hbx360.
On en en est (je crois) à tenter prouver que pour tour réel x :
- ex - e-x  < ex -  e-x < ex + e-x
Il faut vérifier chaque inégalité séparément

Posté par
co11
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 16:45

Bonsoir alb12
j'essaie de ne trop m'écarter de ce qui a qui a été proposé avant, histoire de ne pas trop perdre celui qui demande de l'aide

Posté par
alb12
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 13-05-22 à 09:25

oui cette methode est prioritaire

Posté par
hbx360
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 16-05-22 à 21:42

Bonjour,

Désolé de répondre si tardivement.

Voilà ce que j'ai fait par rapport à vos conseils, j'ai rédigé pour essayer d'être en situation de devoir (est-ce que vous pourrez me dire si au niveau rédaction c'est ok ?) :

Pour vérifier la double inégalités -1 < f(x) < 1 je vérifie si -1 < f(x) puis f(x) < 1.

-1 < \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

-1 * (e^{x}+e^{-x}) < e^{x}-e^{-x}

-e^{x}-e^{-x} < e^{x}-e^{-x}

-e^{x}-e^{-x} -e^{x}+e^{-x} < 0

-2e^{x} < 0 <=> e^{x} > 0

Comme e^{x} > 0 alors

-1 < \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} est vrai.

Et pour :

 \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} < 1

e^{x}-e^{-x} < e^{x}+e^{-x}

e^{x}-e^{-x} -e^{x}-e^{-x}< 0

-2e^{-x} < 0 <=> e^{-x} > 0

Comme e^{-x} > 0 alors

 \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} < 1 est vrai.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 16-05-22 à 22:19

Bonsoir,
Il faudrait dire au départ que les inégalités écrites sont équivalentes.
Et quand tu multiplies les deux membres par quelque chose, préciser que ce quelque chose est positif.

Posté par
carpediem
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 16-05-22 à 22:56

oui la deuxième ligne doit être justifiée

et l'avant dernière est aussi imprécise  (et laid avec ce comme )

or e^{\pm x} > 0 est vrai pour tout réel

donc ...

Posté par
hbx360
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 18-05-22 à 08:43

@Sylvieg quand tu dis : "Il faudrait dire au départ que les inégalités écrites sont équivalentes".  Je ne comprends pas ce que tu veux dire, les 2 inégalités ne peuvent pas être équivalente car il me semble que -1 < f(x) est différente de f(x) < 1.

Idem pour :
"Et quand tu multiplies les deux membres par quelque chose, préciser que ce quelque chose est positif". Est-ce que tu veux dire qu'il faudrait que je fasse :

-1*({e^{x}+e^{-x}) < \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}*({e^{x}+e^{-x})

@carpediem : et je met quoi après le "donc" ?.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 18-05-22 à 08:56

Je parlais des inégalités que tu avais écrites ensuite.
Dans

Citation :
-1 < \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

-1 * (e^{x}+e^{-x}) < e^{x}-e^{-x}

-e^{x}-e^{-x} < e^{x}-e^{-x}
rien n'indique des équivalences.

Et quand tu multiplies par ex + e-x , il faudrait que tu dises que ex + e-x est positif.

Posté par
hbx360
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 18-05-22 à 12:34

D'accord merci pour ton aide et merci aussi à carpediem

Posté par
carpediem
re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 18-05-22 à 15:34

pour revenir à mon idée (que j'attendais de proposer pour te laisser finir dans la voie indiquée) et que Sylvieg a plus ou moins proposée ensuite ...

1/ une exponentielle est positive (et même strictement)

2/ donc e^x - e^{-x} < e^x + e^{-x}   et il suffit de diviser les deux membres par le second ...

3/ donc -e^x - e^{-x} < e^x - e^{-x}   et il suffit de diviser par l'opposé du premier membre ...



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