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Niveau terminale
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Vérifier que -1 < f(x) < 1

Posté par
hbx360 11-05-22 à 14:40

Bonjour,

J'ai l'exercice suivant :

f(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

Vérifier que pour tout réel x \epsilon R, -1 < f(x) < 1

Je ne sais pas comment faire.
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 11-05-22 à 14:52

Bonjour,
La double inégalité est équivalente à celle qu'on obtient en multipliant les trois membres par \; ex + e-x \; qui est positif.

Posté par
co11re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 11-05-22 à 15:34

Bonjour,
j'ai peur d'intervenir à mauvais escient, tu me diras Sylvieg
ne serait-il pas plus simple d'étudier le signe des différences :
f(x) - 1 et f(x) - (-1) = f(x) +1

Posté par
hbx360re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 11-05-22 à 16:09

Donc la démarche mathématique serai de mettre tout au même dénominateur et donc de multiplier -1 et 1 par

e^{x}+e^{-x}

Ce qui donnerai :

-(\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}) < \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} < \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

et ensuite de supprimer le dénominateur :

-({e^{x}+e^{-x}}) < e^{x}-e^{-x} < e^{x}+e^{-x}

Mais je ne vois pas en quoi faire cela permet de vérifier, de dire qu'on à vérifier la double inégalité ?

Posté par
co11re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 11-05-22 à 16:52

Tu es parti sur l'idée de sylvieg, restons en là.
regarde chaque inégalité séparément

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 11-05-22 à 20:49

Bonsoir,
@co11,
Tu as eu raison d'intervenir co11.
@hbx360, quand on ne sait pas quoi faire pour démontrer une inégalité du type A < B, une méthode qui marche vraiment très souvent est d'étudier le signe de B-A, en espérant trouver que c'est positif.
Tu peux le faire pour démontrer
-1 < f(x) et f(x) < 1.
Ou pour démontrer
-({e^{x}+e^{-x}}) < e^{x}-e^{-x} \; et \; e^{x}-e^{-x} < e^{x}+e^{-x}

Une remarque : On ne supprime pas le dénominateur ; on multiplie par un réel positif.
Et si tu utilises cette piste, il faudra rédiger en démontrant d'abord
-({e^{x}+e^{-x}}) < e^{x}-e^{-x} < e^{x}+e^{-x}.
Puis conclure en expliquant que tu divises par le réel positif e^{x}+e^{-x} les trois membres des inégalités.

Posté par
hbx360re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 09:09

D'accord mais voilà le problème c'est que je ne sais pas faire ce type d'exercice donc comment rédige t-on, comment si prend t-on.

Si vous pouviez me montrer sur cette exemple la résolution de l'exercice avec la rédaction parce que là je sais pas quoi mettre.

Je sais même pas si la démarche que j'ai commencé pour résoudre cette exo est la bonne.

Attention je rappel, je suis autodidacte, je ne cherche pas à ce que l'on fasse les exo à ma place, mais là je ne sais pas ou chercher pour trouver des cours qui montre la démarche à suivre pour résoudre ce type d'exo avec rédaction.

Si vous avez des liens je suis preneur ; dans mon livre il n'y a pas de cours sur ce type d'exo et la correction est trop succincte et trop obscure pour moi, pour comprendre la démarche de résolution.

Posté par
carpediemre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 09:36

salut

en l'absence des précédents intervenants qui reprendront la main quand ils le veulent ...

dans ta situation le plus simple et de suivre ce que préconise

co11 @ 11-05-2022 à 15:34

ne serait-il pas plus simple d'étudier le signe des différences :  f(x) - 1 et f(x) - (-1) = f(x) +1


plus généralement quand on veut montrer que f(x) < g(x) on étudie le signe de la différence g(x) - f(x)

et pour étudier le signe d'une expression on la factorise si nécessaire ...

voir par exemple ici conseils pour comparer deux nombres et quatre exercices d'application et ici Etude de la position relative de deux courbes

avec tout ça tu devrais y arriver ...

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 16:08

salut,
un poil plus court: majorer |f(x)|

Posté par
co11re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 16:21

Tu crois vraiment ? La valeur absolue n'est pas si simple

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 16:26

on se contente de la majorer

Posté par
co11re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 16:32

Pour le moment, j'en reste à la piste proposée par Sylvieg et suivie par hbx360.
On en en est (je crois) à tenter prouver que pour tour réel x :
- ex - e-x  < ex -  e-x < ex + e-x
Il faut vérifier chaque inégalité séparément

Posté par
co11re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 12-05-22 à 16:45

Bonsoir alb12
j'essaie de ne trop m'écarter de ce qui a qui a été proposé avant, histoire de ne pas trop perdre celui qui demande de l'aide

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 13-05-22 à 09:25

oui cette methode est prioritaire

Posté par
hbx360re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 16-05-22 à 21:42

Bonjour,

Désolé de répondre si tardivement.

Voilà ce que j'ai fait par rapport à vos conseils, j'ai rédigé pour essayer d'être en situation de devoir (est-ce que vous pourrez me dire si au niveau rédaction c'est ok ?) :

Pour vérifier la double inégalités -1 < f(x) < 1 je vérifie si -1 < f(x) puis f(x) < 1.

-1 < \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

-1 * (e^{x}+e^{-x}) < e^{x}-e^{-x}

-e^{x}-e^{-x} < e^{x}-e^{-x}

-e^{x}-e^{-x} -e^{x}+e^{-x} < 0

-2e^{x} < 0 <=> e^{x} > 0

Comme e^{x} > 0 alors

-1 < \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} est vrai.

Et pour :

\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} < 1

e^{x}-e^{-x} < e^{x}+e^{-x}

e^{x}-e^{-x} -e^{x}-e^{-x}< 0

-2e^{-x} < 0 <=> e^{-x} > 0

Comme e^{-x} > 0 alors

\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} < 1 est vrai.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 16-05-22 à 22:19

Bonsoir,
Il faudrait dire au départ que les inégalités écrites sont équivalentes.
Et quand tu multiplies les deux membres par quelque chose, préciser que ce quelque chose est positif.

Posté par
carpediemre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 16-05-22 à 22:56

oui la deuxième ligne doit être justifiée

et l'avant dernière est aussi imprécise  (et laid avec ce comme )

or e^{\pm x} > 0 est vrai pour tout réel

donc ...

Posté par
hbx360re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 18-05-22 à 08:43

@Sylvieg quand tu dis : "Il faudrait dire au départ que les inégalités écrites sont équivalentes".  Je ne comprends pas ce que tu veux dire, les 2 inégalités ne peuvent pas être équivalente car il me semble que -1 < f(x) est différente de f(x) < 1.

Idem pour :
"Et quand tu multiplies les deux membres par quelque chose, préciser que ce quelque chose est positif". Est-ce que tu veux dire qu'il faudrait que je fasse :

-1*({e^{x}+e^{-x}) < \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}*({e^{x}+e^{-x})

@carpediem : et je met quoi après le "donc" ?.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 18-05-22 à 08:56

Je parlais des inégalités que tu avais écrites ensuite.
Dans

Citation :
-1 < \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

-1 * (e^{x}+e^{-x}) < e^{x}-e^{-x}

-e^{x}-e^{-x} < e^{x}-e^{-x}
rien n'indique des équivalences.

Et quand tu multiplies par ex + e-x , il faudrait que tu dises que ex + e-x est positif.

Posté par
hbx360re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 18-05-22 à 12:34

D'accord merci pour ton aide et merci aussi à carpediem

Posté par
carpediemre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 18-05-22 à 15:34

pour revenir à mon idée (que j'attendais de proposer pour te laisser finir dans la voie indiquée) et que Sylvieg a plus ou moins proposée ensuite ...

1/ une exponentielle est positive (et même strictement)

2/ donc e^x - e^{-x} < e^x + e^{-x}   et il suffit de diviser les deux membres par le second ...

3/ donc -e^x - e^{-x} < e^x - e^{-x}   et il suffit de diviser par l'opposé du premier membre ...

Posté par
hbx360re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 04-11-22 à 10:01

Bonjour,

Dans le corrigé l'auteur passe par l'inégalité triangulaire, il fait :

\left| f(x)\right|=\left| \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\right| = \frac{|e^{x}-e^{-x}|}{e^{x}+e^{-x}} < \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} = 1

Je ne comprend pas comment l'auteur fait pour démontrer que f(x) est plus grand que -1.

Et je ne vois pas vraiment ou l'on retrouve la formule |a + b | \leq |a| + |b| dans l'expression qu'il a écrit, peut-être a-t-il sauté une étape ?
J'ai du mal à comprendre la démarche avec l'inégalité triangulaire.

Eventuellement est-ce que vous auriez un cours ou autre, qui explique comment en passant par l'inégalité triangulaire on peut démontrer que pour tout réel  x \epsilon R,
-1 < f(x) < 1.

Merci d'avance.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 04-11-22 à 10:17

Bonjour,
L'inégalité triangulaire : |a+b| |a| + |b|
Elle est utilisée avec a =ex et b = - e-x.
Mais le "inférieur strict" au lieu du "inférieur ou égal" est un peu parachuté.
Ensuite, avec r positif : |A| < r -r < A < r.

Si tu as lu les différents messages de ce sujet, tu auras vu qu'une méthode est de chercher le signe de 1-f(x) et de 1+f(x).

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 04-11-22 à 21:57

le cas d'egalite devrait etre connu

Posté par
hbx360re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 05-11-22 à 18:41

Merci pour les réponses.

Posté par
hbx360re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 09-11-22 à 15:48

Est-ce que vous pourriez me montrer avec la méthode de l'inégalité triangulaire comment on passe de |a+b| \leq |a| + |b| à

\left| f(x)\right|=\left| \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\right| = \frac{|e^{x}-e^{-x}|}{e^{x}+e^{-x}} < \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} = 1

parce que je ne comprend pas du tout et je ne vois pas d'inégalité triangulaire dans la correction ci-dessus du livre.

Posté par
carpediemre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 09-11-22 à 16:00

a - b = a + (-b) et il suffit de prendre la valeur absolue ...

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 09-11-22 à 17:20

Theoreme

|a+b|\leqslant|a|+|b|$ égalité si et seulement si $a$ et $b$ sont de même signe \\

On en deduit:

\\ |a-b|=|a+(-b)|\leqslant|a|+|-b|=|a|+|b|$ égalité si et seulement si $a$ et $-b$ sont de même signe \\

d'où le theoreme:

\\ |a-b|\leqslant|a|+|b|$ égalité si et seulement si $a$ et $b$ sont de signe contraire \\

Application:

e^{x}$ et $e^{-x}$ sont strictement positifs donc $|e^x-e^{-x}|<|e^x|+|e^{-x}|=e^x+e^{-x} \\

malou edit > Ltx réparé

Posté par
hbx360re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 09-11-22 à 19:13

Donc le fait que

|e^x-e^{-x}|

soit strictement positif permet de dire que -1 < \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} ?

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 09-11-22 à 19:54

Sylvieg a repondu

|A|<1\iff-1<A<1 \\

dans ton exercice on demontre d'abord:

|f(x)|<1

ensuite on en deduit:

-1<f(x)<1

malou edit < Ltx réparé

Posté par
gefestre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 09-11-22 à 21:27

Bonsoir.
hbx360, alternativement, vous pouvez prouver la proposition par contradiction: de propositions f(x)\leqslant -1 et f(x)\geqslant 1 arriver à des contradictions.

Posté par
carpediemre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 09-11-22 à 22:30

bof ...

la simple et seule propriété d'une exponentielle : une exponentielle est positive et des manipulations sur les inégalités de niveau collège suffisent à répondre à la question

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 07:58

oui le passage par la valeur absolue n'est pas une bonne idee à ce niveau.

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 12:19

@malou
tu m'avais deja signale ce probleme
je n'ai pas d'erreur avec:

\\ a+b=c \\

Qu'en pensent les autres ?

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 12:35

j'en profite pour indiquer à hbx360 la meilleure methode de resolution donnee par les autres intervenants
Pour tout reel x,

\\ -e^x<e^x$ et $-e^{-x}<e^{-x} \\

donc

\\ -e^x-e^{-x}<e^x-e^{-x}<e^x+e^{-x} \\

donc

\\ \dfrac{-e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}<\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}<\dfrac{e^x+e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \\

donc

\\ -1<f(x)<1 \\

pas de probleme avec latex chez moi... est-ce le cas chez les autres ?

Posté par
hbx360re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 13:22

Merci à tous le monde pour votre aide.

C'est à dire que le livre de math que j'ai, j'ai l'impression qu'il est plus pour des personnes qui veulent réviser qu'apprendre.

Posté par
malou Webmasterre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 13:24

hello alb12

le site n'apprécie pas quelque chose a priori, que tu "utilises" souvent
je vois
[tex]
puis tu écris ta formule
[ /tex]

je passe après toi
j'enlève l'espace
donc j'arrive à
[tex]puis tu écris ta formule
[ /tex]
et ça passe

marrant, pour ton a+b=c c'est passé

sur ton message de 12h35, voilà ce que moi je vois car je n'y ai pas touché pour le moment
Vérifier que -1 < f(x) < 1

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 18:29

je reitere ma demande est-ce le cas chez tout le monde ?

Posté par
carpediemre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 20:20

je vois effectivement la même chose que malou

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 21:24

les \\ indiquent bien un saut de ligne
sur mon PC et sur mon smartphone c'est ok
votre navigateur c'est Firefox ?

Posté par
malou Webmasterre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 21:27

J'utilise chrome pour ma part sur mon ordi

Et là je suis sur mon téléphone et ce n'est pas bon non plus

Posté par
carpediemre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 21:36

c'est gogol ...

mais effectivement en regardant ton code et comme le dit malou pour ma part je ne fais jamais de retour ligne avec les balises seules (pour ensuite y insérer les expressions) : je laisse toujours les balises en début et fin d'expression

mais c'est vrai que ça marche avec a + b = c pourtant !

PS : je ne vois bien sûr pas s'il y a des espaces ou pas ...

Posté par
malou Webmasterre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 21:42

Pour a+b=c
Alb avait fait la même chose
Retour à la ligne

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 21:46

ok j'ai le probleme sous Edge et sous Chrome
moralite passez à Firefox
je blague je vais tenir compte de vos remarques. J'aimerais avoir l'explication

-e^x<e^x$ et $-e^{-x}<e^{-x} \\

donc

-e^x-e^{-x}<e^x-e^{-x}<e^x+e^{-x} \\

donc

\dfrac{-e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}<\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}<\dfrac{e^x+e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \\

donc

-1<f(x)<1 \\

Posté par
malou Webmasterre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 21:46

Mais bon le Ltx sur le forum...
Et suis quasi sûre que si alb12 faisait ça dans la partie écriture des fiches ça passerait
Je vérifierai demain
Les spécificités du Ltx ne sont pas les mêmes ici et sur les fiches...et elles sont spécifiques au site...tout un programme

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 21:49

Zut raté
peut etre ainsi

-e^x<e^x$ et $-e^{-x}<e^{-x}

donc

-e^x-e^{-x}<e^x-e^{-x}<e^x+e^{-x}

donc

\dfrac{-e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}<\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}<\dfrac{e^x+e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

donc

-1<f(x)<1

Posté par
malou Webmasterre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 21:51

bon...je viens de rouvrir mon ordi du coup, et suis là avec firefox cette fois...ben, oui, là c'est OK
ben mince ...

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 21:51

donc ok sur tout navigateur en ne sautant pas de ligne

Posté par
malou Webmasterre : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 21:54

oui, je suis repassée avec chrome
21h46 est raté sur chrome (mais bon sur firefox) et 21h49 est OK partout


edit
et sur la partie fiche, c'est bien ce que je pensais, ça passe sans problèmes

Posté par
alb12re : Vérifier que -1 < f(x) < 1 10-11-22 à 21:59

bon le probleme se resout facilement
il faut juste ne pas faire de saut de lignes ce qui rend le code difficile à lire.

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