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Niveau terminale
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Voila un exercise de syntèse

Posté par
saad0005
20-09-22 à 01:45

**BONJOUR**

Soient f et g deux fonctions continues sur [0;1] tels que :

f ([0; 1]) subset[0,1] et g ([0; 1]) subset[0;1]

( forall x in [0, 1] ) f(g(x))=g(f(x))

Montrer que:

( exists alpha in [0; 1] ) f(alpha) = g(alpha)

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Voila un exercise de syntèse 20-09-22 à 02:43

Bonsoir


une idée :


\large\boxed{1} Commencer par établir que les deux ensembles \large\boxed{Z_f=\{x\in[0,1]~/~f(x)=x\}} et \large\boxed{Z_g=\{x\in[0,1]~/~g(x)=x\}} sont non vides.


\large\boxed{2} En considérant \large\boxed{a=\inf~Z_f} et \large\boxed{b=\inf~Z_g}, montrer que \large\boxed{f(a)=a} et \large\boxed{g(b)=b}.


\large\boxed{3} Appliquer le TVI à la fonction f-g entre a et b pour conclure. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
alfpfeu
re : Voila un exercise de syntèse 20-09-22 à 07:00

Bonjour,

Pas facile comme exo pour un niveau Terminale, sans questions intermédiaires. Ca pourrait faire une colle en MPSI, je trouve.

juste par curiosité, saad0005, es-tu en Terminale en France?

Merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Voila un exercise de syntèse 20-09-22 à 07:42

Bonjour à tous,
@saad0005,
Faire "Aperçu" avant de poster est une habitude à prendre et une nécessité quand on utilise des caractères spéciaux ou LaTeX.
Il manquait les balises et les \.
Voici l'énoncé :

f ([0; 1]) \subset[0,1] et g ([0; 1]) \subset[0;1]

( \forall x \in [0, 1] ) f(g(x))=g(f(x))

Montrer que: ( \exists \alpha \in [0; 1] ) f(\alpha) = g(\alpha)

Pour voir comment le taper, utiliser le bouton en haut du message, à gauche de la date, pour avoir accès au code source.

Voila un exercise de syntèse

pour que le code source soit visible, tu dois cocher "oui" à source accessible
dans ton espace membre / mes préférences / source accessible

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Voila un exercise de syntèse 20-09-22 à 21:11

Bonsoir,
Je propose une piste qui n'utilise pas la notion de borne inférieure qui n'est sans doute pas au programme de terminale.
Mais ce n'est pas simple...

Soit h = f-g.
La fonction h est continue sur [0;1].
Si elle ne s'annule pas alors elle ne change pas de signe sur [0;1].
On peut supposer ce signe positif (sinon on utilise g-f).
L'image de l'intervalle [0;1] par h est un intervalle fermé borné [m;M] où m > 0.
Pour tout x de [0;1] on a f(x) -g(x) m.
D'où f(g(x)) - g(g(x)) m pour tout x de [0;1].
Qui s'écrit aussi fog(x) - gog(x) m
De même fof(x) - gof(x) m
On en déduit fof(x) - gog(x) 2m car fog(x) = gof(x).

On peut recommencer avec f1 = fof et g1 = gog.
On trouvera f1of1(x) - g1og1(x) 4m.

On peut continuer. Je ne détaille pas.
On arrivera à un k entier tel que 2km > 1 et il y aura contradiction avec des fonctions à valeur dans [0;1]

Posté par
carpediem
re : Voila un exercise de syntèse 20-09-22 à 21:29

salut

j'y ai réfléchi mais n'ayant rien trouvé d'intéressant en partant comme toi (les quatre premières lignes) et essayé un raisonnement par l'absurde ... mais rien de concluant !

cependant je ne comprends pas comment tu obtiens

Sylvieg @ 20-09-2022 à 21:11


D'où f(g(x)) - g(g(x)) m pour tout x de [0;1].

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Voila un exercise de syntèse 20-09-22 à 22:06

Je pars de :
Pour tout x de [0;1] on a f(x) -g(x) m.
Et j'y remplace x par g(x).

Posté par
carpediem
re : Voila un exercise de syntèse 20-09-22 à 22:45

ha ok tout simplement !!  merci

et ça me semble pas mal !!

Posté par
saad0005
re : Voila un exercise de syntèse 20-09-22 à 23:22

alfpfeu @ 20-09-2022 à 07:00

Bonjour,

Pas facile comme exo pour un niveau Terminale, sans questions intermédiaires. Ca pourrait faire une colle en MPSI, je trouve.

juste par curiosité, saad0005, es-tu en Terminale en France?

Merci



Bonjour, je suis un élève 2ème bac science math au maroc

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Voila un exercise de syntèse 20-09-22 à 23:37

Bonsoir

Citation :
Je propose une piste qui n'utilise pas la notion de borne inférieure qui n'est sans doute pas au programme de terminale.



c'est aussi une bonne idée Sylvieg

à ma connaissance (si mes souvenirs sont bons ) le théorème de la borne supérieure (inférieure) est au programme de la classe terminale sciences mathématiques au maroc

saad0005 pourra nous dire si c'est toujours le cas

Posté par
aya4545
re : Voila un exercise de syntèse 21-09-22 à 15:42

bonjour
le théorème de la borne supérieure (inférieure)  n 'est  plus au programme de la classe terminale sciences mathématiques au maroc
mais la majorité des profs de maths traite cette séquence avec leurs élèves .je me souviens très bien  on a vu ca au mois de septembre.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Voila un exercise de syntèse 21-09-22 à 19:52

Grand merci aya4545 pour l'information


En consultant le portail du ministère j'ai vu qu'en effet le théorème de la borne supérieure (inférieure)


n'est plus au programme de la classe terminale sciences mathématiques au maroc.


Le programme garde (quand même ) un résultat admis (celui utilisé par sylvieg)


à savoir que l'image d'un segment par une fonction continue est un segment.


Si la mémoire ne me fait pas défaut le même exercice a déjà été posté sur le forum


mais avec l'hypothèse supplémentaire \Large\boxed{f~(ou~g)~monotone}


et la conséquence (plus forte) \Large\boxed{\exists\alpha\in[0,1]~/~f(\alpha)=g(\alpha)=\alpha} sauf erreur de ma part bien entendu



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