Bonsoir


une idée :


Commencer par établir que les deux ensembles et sont non vides.


En considérant et , montrer que et .


Appliquer le TVI à la fonction entre et pour conclure. _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Bonjour,

Pas facile comme exo pour un niveau Terminale, sans questions intermédiaires. Ca pourrait faire une colle en MPSI, je trouve.

juste par curiosité, saad0005, es-tu en Terminale en France?

Merci

Bonjour à tous,
@saad0005,
Faire "Aperçu" avant de poster est une habitude à prendre et une nécessité quand on utilise des caractères spéciaux ou LaTeX.
Il manquait les balises et les \.
Voici l'énoncé :

et



Montrer que:

Pour voir comment le taper, utiliser le bouton en haut du message, à gauche de la date, pour avoir accès au code source.



pour que le code source soit visible, tu dois cocher "oui" à source accessible
dans ton espace membre / mes préférences / source accessible

Bonsoir,
Je propose une piste qui n'utilise pas la notion de borne inférieure qui n'est sans doute pas au programme de terminale.
Mais ce n'est pas simple...

Soit h = f-g.
La fonction h est continue sur [0;1].
Si elle ne s'annule pas alors elle ne change pas de signe sur [0;1].
On peut supposer ce signe positif (sinon on utilise g-f).
L'image de l'intervalle [0;1] par h est un intervalle fermé borné [m;M] où m > 0.
Pour tout x de [0;1] on a f(x) -g(x) m.
D'où f(g(x)) - g(g(x)) m pour tout x de [0;1].
Qui s'écrit aussi fog(x) - gog(x) m
De même fof(x) - gof(x) m
On en déduit fof(x) - gog(x) 2m car fog(x) = gof(x).

On peut recommencer avec f₁ = fof et g₁ = gog.
On trouvera f₁of₁(x) - g₁og₁(x) 4m.

On peut continuer. Je ne détaille pas.
On arrivera à un k entier tel que 2^km > 1 et il y aura contradiction avec des fonctions à valeur dans [0;1]

salut

j'y ai réfléchi mais n'ayant rien trouvé d'intéressant en partant comme toi (les quatre premières lignes) et essayé un raisonnement par l'absurde ... mais rien de concluant !

cependant je ne comprends pas comment tu obtiens

Sylvieg @ 20-09-2022 à 21:11


D'où f(g(x)) - g(g(x)) m pour tout x de [0;1].

Je pars de :
Pour tout x de [0;1] on a f(x) -g(x) m.
Et j'y remplace x par g(x).

ha ok tout simplement !!  merci

et ça me semble pas mal !!

Bonsoir

bonjour
le théorème de la borne supérieure (inférieure)  n 'est  plus au programme de la classe terminale sciences mathématiques au maroc
mais la majorité des profs de maths traite cette séquence avec leurs élèves .je me souviens très bien  on a vu ca au mois de septembre.

Grand merci aya4545 pour l'information


En consultant le portail du ministère j'ai vu qu'en effet le théorème de la borne supérieure (inférieure)


n'est plus au programme de la classe terminale sciences mathématiques au maroc.


Le programme garde (quand même ) un résultat admis (celui utilisé par sylvieg)


à savoir que l'image d'un segment par une fonction continue est un segment.


Si la mémoire ne me fait pas défaut le même exercice a déjà été posté sur le forum


mais avec l'hypothèse supplémentaire


et la conséquence (plus forte) _{sauf erreur de ma part bien entendu}