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Voisinage d'un point
Bonjour,
Mon livre fait un complément de quelques pages sur la topologie dans le chapitre continuité (MPSI).
La définition de voisinage ne me pose pas de problème :
Soit un espace métrique, V une partie de E et
On dit que V est un voisinage de x lorsque :
(je note B la boule ouverte)
L'auteur dit :
1/Si une boule fermée alors la boule ouverte l'est également.
Je pense que c'est parce que :
2/ Si une boule ouverte alors
Et là je comprends pas le rapport de la justification suivante avec le point 2 :
L'auteur dit :
Puisque
Vous avez raison !
On veut montrer :
On veut montrer P implique Q
Pourquoi dans la démo on part de Q ?
Ah d'accord merci, il a du faire une erreur de frappe car :
est faux non ?
Sur un dessin ça m'a l'air faux.
J'ai des petites questions de topologie.
Soit un espace métrique.
On dit que la partie U de E est un ouvert de E lorsque U est un voisinage de chacun de ses points.
- L'ensemble tout entier est trivialement ouvert. Je ne comprends pas pourquoi, on sait même pas de quel ensemble on parle ?
- L'ensemble vide est ouvert car il n'a pas de point. Pas compris non plus
- est un ouvert. Comment le montrer ?
Salut Ramanujan.
Il vaudrait mieux poser la définition comme ceci :
Soit un espace métrique.
Soit U une partie de E.
On dit que U est un ouvert de E lorsque U est un voisinage de chacun de ses points.
Mézalors maintenant, ma question est : quelle définition as-tu de la notion de voisinage dans un espace métrique ?
La définition de voisinage est :
Soient un espace métrique, V une partie de E et
On dit que V est un voisinage de x lorsqu'il existe une boule ouverte de centre x et de rayon strictement positif incluse dans V.
Partant, E un ouvert de E, puisque pour tout , et tout
. C'est simplement la conséquence de la définition d'une boule ouverte de E. Donc E est bien voisinage de tous ses points.
Prenons maintenant la partie vide de E. Posons .
Il faut donc montrer ceci : .
Or il me semble qu'on a déjà discuté ensemble des proposition qui commencent par , et on a dit qu'elles étaient toujours des théorèmes. Donc la proposition en bleu est un théorème et le vide est ouvert.
J'ai compris pour l'ensemble vide.
Mais pas pour l'autre j'ai pas compris d'où ça sort ? Comment on sait que la boule ouverte de centre restera dans E ?
Partant, E un ouvert de E, puisque pour tout , et tout
.
Une boule ouverte est une partie de l'espace métrique.
Ah oui !
Ca vient pas du fait que :
Et vous m'aviez dit sur ce forum que dès que ça commence par
L'objet noté se lit "l'ensemble des éléments de E qui possèdent la propriété bla bla".
C'est donc un sous-ensemble de E.
Ayant compris ça, j'ai une nouvelle question sur le même thème 
On a démontré dans le cours que les boules fermées sont des fermés et les boules ouvertes des ouverts.
Les singletons de l'espace métrique où d est la distance usuelle
ne sont pas des ouverts.
En revanche dans l'espace métrique , les singletons
sont des ouverts puisqu'ils contiennent la boule ouverte de centre x et de rayon
Mon raisonnement :
Dans , un singleton est de la forme :
En effet :
Donc un singleton est un fermé dans l'espace métrique .
J'ai pas compris pourquoi dans , les singletons
sont des ouverts
Dans la boule de centre
et de rayon 1/2 est
.
Or tu sais qu'une boule ouverte est un ouvert.
Donc est un ouvert de
.
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