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Volume Viviani (intersection sphere/cylindre)
Bonjour,
J'essaye de calculer le volume de l'intersection entre une sphere de rayon 1 centrée en (0,0,0) et d'un cylindre de rayon 1/2 centré en (0,1/2,0)
voilà ce que j'ai fait (je sais qu'il y a plus simple mais il n'y a pas de raison que cela ne marche pas comme ça et pourtant...)
on a :
x2 + y2 + z2 = 1
x2 + y2 - y = 0
et on a comme contraintes :
x2 + y2 + z2 
1
x2 + y2 - y
z 
0 (on trouvera le volume par symétrie)
V=
dxdydz
avec :
x = r.sin
.cos
r 
[0,1]
y = r.sin.sin [0,
]
z = r.cos [0,2]
on intègre sur :
= {(r,,) [0,1]x[0,]x[0,2] / r21 , r2.sinr.sinsin , r.cos0}
= {(r,,) ]0,1]x]0,/2]x[0,2] / rsin/sin}
= {(r,,) ]0,1]x]0,/2]x[0,2] / rsin/sin}
V=r2.sindrdd
V=[0,/2][0,2] ( 0(sin/sin) r2sindr ) dd
V=[0,/2][0,2] (1/3)sin(sin/sin)3dd
V=(1/3)( 0/2 d/sin2 )( 02 sin3d)
Mais la première intégrale diverge...
Je ne comprend pas où est l'erreur.
J'espère que j'ai été assez précis et que c'est assez lisible :s
PS : Pour les coordonnées sphériques, je sais que certains ne prennent pas les mêmes et
Bonjour Ab33,
Dans ton système de coordonnées sphériques, un peu inhabituel en maths, la valeur de r n'est pas limitée seulement par sin/sin, mais aussi - et même surtout - par 1 ...
Ton système de coordonnées sphériques ( rayon, latitude , longitude) n'est pas si mauvais que ça dans bien des domaines mais ne semble pas apprprié à ton problème .
L'ensemble A dont tu veux calculer le volume 
(A) est :
A = { (x,y,z) 
3 | x² + (x - 1/2)² 1/4 et x² + y² + z² 1 }
= { (rcos(t) , 1/2 + rsin(t) , z) | 0 r 1/2 , 0 t 2 , z² 3/4 - rsin(t) - r²} .
On pose donc = [0,1/2]
[0,2] et (après avoir prouvé que pour tout (r,t) on a :3/4 - rsin(t) - r² 0 ) f(r,t) = 2r(3/4 - rsin(t) - r²)1/2 .
Alors (A) = f .
(A) =
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