Le lemme des compacts emboîtés (une intersection strictement décroissante de compacts d'un esapce métrique est un singleton) n'est pas valable en général dans les espaces topologiques ?

pardon j'ai dit n'importe quoi à propos du lemme des compacts emboîtés... les modérateurs sont invités à effacer mon post précédent et celui-ci

Bonsoir Stokastik

c'est valable dans un espace métrique, non ?
D'ailleurs, je crois qu'il manque une hypothèse dans l'expression de ton lemme : il faut que le diamètre des compacts tendent vers 0 (d'où la nécessité d'une distance).
Kaiser

exact, c'était bien là mon n'importe quoi

Mais bon, d'un autre côté, ce que tu as dit n'est pas totalement faux. L'espace doit au moins être métrique.

Le triangle de Sierpinski est-il connexe ?

Mon intuition me dit que oui, mais en maths il faut parfois se méfier d'elle !!

Pourquoi cette question ?
Une idée derrière la tête ?

Ben le triangle de Sierpinski est bien une intersection décroissante de compacts connexes par arcs non ?

Ah finalement, je crois savoir où tu veux en venir, Stokastik !

Bon en tout cas j'ai eu l'idée de chercher parmi les compacts "fractals", mais j'y connais rien. J'ai vu sur le ouebbe que certains ensembles de Julia ne sont pas connexes mais je ne sais pas si on peut écrire un ensemble de Julia comme une intersection décroissante de compacts ?
Bon excusez-moi si j'ai déliré ce soir, je vais me coucher.

@+

Allez, bonne soirée à toi aussi !

Ah une remarque : j'ai vu dans ce document : que l'auteur justifie à un endroit qu'un ensemble est compact et connexe en disant qu'il est une intersection de compacts connexes (mais il n'y pas la preuve de ce fait)

Bonjour;
Bien vu le cas des ensembles fractals stokastik,l'idée de la premiére question m'est venue justement de l'ensemble dit de Mandelbrot qui est l'intersection d'une suite décroissante de compacts du plan complexe il s'agit de la suite où est la suite de polynomes définie par la relation de récurrence .
Je crois que est vraie et j'en donne la preuve suivante:
Soit une suite décroissante de compacts connexes non vides d'un espace topologique posons et soit deux ouverts disjoints de tels que alors l'ouvert contient les à partir d'un certain rang car sinon en notant (qui est un fermé de ) on aurait et serait une suite décroissante de compacts non vides d'intersection vide ce qui est absurde.
Soit alors tel que on ait comme est connexe il est contenu dans l'un des ouverts ou et il en sera donc de m^me pour ce qui achéve la démonstration.
Sauf erreurs...

Bonjour à tous

Je pense que la deuxième proposition (concernant la connexité par arcs) est fausse. J'en donne un contre-exemple.
Tout d'abord considérons .
K est un exemple classique d'ensemble connexe et mais non connexe par arcs.
il suffit de montrer qu'il est l'intersection décroissante de connexes par arcs.
On remarque que où

En effet, K est un compact, donc fermé et il est donc bien égal à cette intersection (dans le cas général, cette intersection est l'ensemble des éléments qui sont à une distance nulle de K, c'est-à-dire l'adhérence).
on peut également remarquer que les sont connexes par arcs.
Pour bien voir pourquoi c'est vrai, il suffit de voir que le seul problème qui se posait quant à la non connexité par arcs de K était au niveau des x proches de 0 et on ne pouvait jamais relier certains points sans sortir de K (la courbe s'écrase sur l'axe des ordonnées sans jamais la toucher. Ainsi, en dilatant K d'une boule de rayon strictement positif, un point de K d'abscisse non nul mais néanmoins proche de 0 sera dans une même boule qu'un élément de l'axe des ordonnées. La boule étant convexe, ces deux point sont reliés par un arc (et même par un segment), d'où le connnexité par arcs de ces ensembles.

Finalement, on a "démontré" qu'une intersection décroissante de compacts connexe par arcs n'est pas forcément connexe par arcs (enfin, si je ne me suis pas trompé).

Kaiser

Bonsoir kaiser et merci encore d'avoir poursuivi ce topic;
Je crois que le contre exemple est juste.
Merci

Bonsoir à toi aussi elhor_abdelali

et merci d'avoir confirmé ce contre-exemple.

Dans ma "démonstration", j'avais utilisé un truc qui est vrai dans cet exemple mais je me demandais si c'étais vrai dans le cas général.
Il s'agit de la proposition suivante :
Si K est connexe (pas forcément compact), alors pour toute boule B de rayon strictement positive, K+B est connexe par arcs.
A priori, je me dis que ça pourrait être vrai mais je ne me suis pas assez penché sur la question.
Qu'en penses-tu ?

Kaiser

Si on prend K le graphe de la fonction x->sin(1/x) et B la boule unité, ca donne quoi?
Ta boule est elle fermée ou ouverte au fait?

Ben je la prend fermée (pour que l'ensemble obtenu après dilatation soit fermé).

Pourquoi veux tu que K+B soit fermé?
As tu étudié mon exemple?

Par contre, pour ta première question, je ne vois pas ce que tu veux savoir au juste !

Donc maintenant elhor_abdelali, je suppose que tu te demandes si l'ensemnble de Mandelbrot est connexe par arcs ? Ou alors tu sais ?

Désolé Otto, je n'ai pas étudié ton exemple sur le triangle de Sierpinski.

Salut Kaiser,
mon exemple n'est pas celui sur le triangle de Sierpinski, mais sur celui du graphe de la fonction sinus de 1/x.

Ma première question fait référence au fait que tu veux que B soit fermée pour que ton ensemble soit fermé après dilatation.
Oui, mais pourquoi veux tu ceci? Qu'est ce que ca change à la connexité par arc de l'ensemble?

Je crois que je t'ai mal compris. Désolé Otto ! (je croyais que tu me parlais de ma démonstration du contre-exemple).

Le fait que la boule soit ouverte ou fermée n'a aucune importance.

Le fait que la boule soit ouverte ou fermée n'a aucune importance
C'est ce que je voulais t'entendre dire, je n'en voyais pas l'intéret
Je pensais que tu avais en tête la compacité de K, d'où ma question.
A+

En fait ma conjecture concerne tous les connexes, et pas seulement les compacts !

Bonsoir kaiser,otto et stokastik et merci pour l'interet que vous montrez pour ce sujet.
Effectivement stockastik on sait maintenent que l'ensemble de Mandelbrot est connexe mais on ne peut conclure sur sa connexité par arcs.
Pour te répondre kaiser j'aurais besoin de quelques résultats préliminaires:
Lemme 1:
La réunion de deux connexes par arcs non disjoints est connexe par arcs.
Preuve:
Soit et deux connexes par arcs non disjoints d'un espace topologique et on peut sans perte de généralité supposer et et soit comme et sont supposés connexes par arcs on sait qu'il existe deux applications continues et il est alors clair que l'application vérifie et est donc bien connexe par arcs.
Lemme 2:
Si est une famille de connexes par arcs vérifiant alors est connexe par arcs.
Preuve:
Soit et tels que et d'aprés le lemme et sont connexes par arcs et comme ils sont non disjoints le lemme encore assure que est connexe par arcs et on peut donc relier et par un chemin continue à support dans donc dans .
Lemme 3:
Si est une famille de connexes par arcs telle que pour toute partition de I en deux ensembles et on ait alors est connexe par arcs.
à suivre.

preuve du lemme 3:
Définissons sur la relation par:
il est facile de voir que est d'équivalence.
Je vais montrer qu'il y'a une seule classe d'équivalence ce qui achévera la démonstration.
Pour cela désignons par la classe d'équivalence d'un élément de et supposons (par l'absurde) que notons et il est clair que est une partition de et donc par hypothése c'est à dire qu'il existe et tels que mais alors ce qui veut dire que les deux connexes par arcs sont non disjoints on conclut alors par le lemme que c'est à dire d'où la contradiction.
J'arrive maintenant à ta question kaiser:
Théorème:
Si K est un connexe (non vide) d'un espace vectoriel normé alors pour tout réel strictement positif l'ensemble est connexe par arcs.( désignant la boule ouverte de centre et de rayon )
Démonstration:
on voit que l'ensemble (ouvert) est une réunion de connexes par arcs raisonnons par l'absurde en supposant qu'il n'est pas connexe par arcs et par la biais du lemme on a l'existence d'une partition de telle que ou encore et vu que on voit que n'est pas connexe ce qui achéve la démonstration.
Sauf erreurs bien entendu
NB: Je vois que le lemme est de trop mais bon disons que ça peut toujours servir

Bonsoir elhor_abdelali

Bravo pour cette démonstration et merci d'avoir répondu à ma question !
En ce qui concerne le lemme 2, mieux vaut en faire trop que pas assez !

Kaiser

Merci kaiser;
Pour le contre exemple que tu as donné je crois qu'on peut l'améliorer en posant on a toujours la décroissance de la suite et la connexité par arcs ne pose plus de problème vu que est la réunion non disjointe de deux connexes par arcs.
Sauf erreurs...