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Who wants another suites ?

Posté par verbatim74 (invité) 19-01-07 à 19:35

Allez hop, je vous remet 2 petits exos
Les modérateurs, je suis en cours de raction de tous les exo que je vous ai demandé.Je posterai ca d'ici la samaine prochaine car je suis entrain de monter un site avec plein de math partout
Et je met des exos sur ce forum pour le contenu de ce dernier
Donc voici 2 autres exos.Merci de chercher avec moi :

Exercice 1 :
Soit deux réels fixés a et b verifiant 0<ba. On definit les suites (Un) et (Vn) pour n par les conditions initiales U(0)=a et V(0)=b et la relation de recurrence simultanée :
n,U(n+1)= (Un+Vn)/2 et Vn+1=Racine(UnVn).
1) Demontrer que les suites Un et Vn sont bien definies pour n
2)Demontrer que les suites sont adjacentes
On note leur limite commune.
3) Demontrer que : n, |U(n+1)-V(n+1)|(|Un-Vn|)/2

Exercice 2 :
Determiner si elles existent les bornes inferieures et superieures des partie suivantes de :
A={1/n + (-1)^n | n*} et

B={n/(nm+1) |(n,m)* x *}

Merci

PS: vous noterez que je donne des exo de plus en plus compliqués héhé

Posté par
Nightmarere : Who wants another suites ? 19-01-07 à 19:44

Bonsoir

Pour la 1. quel est ton problème? Il n'est pas bien compliqué.


Pour le 2. Il suffit de travailler un peu sur les suites.

Par exemple tu sais que pour tout n appartenant à N* :
3$\rm 0<\frac{1}{n}<1 et 3$\rm -1\le(-1)^{n}\le 1

En faisant la somme on obtient ce qu'on veut.

Posté par verbatim74 (invité)re : Who wants another suites ? 19-01-07 à 19:53

Ben nan justement je ne vois pas.
Je suis plutot calé geometrie moi
Stp tu pourrais detailler les calculs car après j'ai assez de mal pour la redaction finale ?

Merci bcp Nightmare

Posté par
Nightmarere : Who wants another suites ? 19-01-07 à 20:01

De quel exercice parles-tu?

Posté par verbatim74 (invité)re : Who wants another suites ? 19-01-07 à 21:32

Ben des 2 ! Si tu pouvais me donner plus de detail, c'est pour la redaction après
Je m'exerce sur ce genre d'exos...
Merci

Posté par
Nightmarere : Who wants another suites ? 19-01-07 à 21:45

Pour le premier :

1) Il faut démontrer que Un et Vn sont positives. Par réccurence c'est immédiat (leur premier terme étant positif)

2) Etudie U(n+1)-U(n) et V(n+1)-V(n). Tu vas voir qu'il te faudra établir un ordre entre U(n) et V(n) pour conclure, tu peux démontrer que U(n)>V(n) (par réccurence par exemple ou simplement en exprimant U(n)-V(n) en fonction de U(n-1) et V(n-1))

Posté par verbatim74 (invité)re : Who wants another suites ? 19-01-07 à 21:49

Oui bien sur mais c'est surtout pour la question 3) et l'exo 2
Oui l'ensemble de definition et les suites adjacentes ca coole de source...
Et sinon, tu te rappelles du lemme de l'escalier ?
T'aurais pas une demonstration ??, car j'avais relu ce que t'avais fait et ca m'interesserai...

Merci

Posté par
Nightmarere : Who wants another suites ? 19-01-07 à 21:54

Pour le 3. as-tu essayé la réccurence? Je cherche un moyen plus direct.

Posté par
Nightmarere : Who wants another suites ? 19-01-07 à 21:54

Concernant le lemme de l'escalier, rappelle le moi demain, là je ne vais pas tarder à y aller.

Posté par verbatim74 (invité)re : Who wants another suites ? 19-01-07 à 21:56

A si juste vite fait la preuve s'il te plait
Je fini pratiquement le praragraphe des suites ce week end pour mon site...
Et puis je sais pâs si je serai la demain, car c'est mon anniversaire et ca se fete

Posté par verbatim74 (invité)re : Who wants another suites ? 19-01-07 à 21:56

Et pour la recurrence oui j'ai tenté mais je bloque !

Posté par
Nightmarere : Who wants another suites ? 19-01-07 à 22:04

Bon rapidement

Le lemme de l'escalier s'énnonce comme suit :
Soit (un) une suite dans C telle que 3$\rm u_{n+1}-u_{n}\longrightarrow_{n\infty} a\in\mathbb{C}, alors 3$\rm \frac{u_{n}}{n}\longrightarrow_{n\infty} a

Pour démontrer cela, il suffit de remarquer que :
3$\rm \forall n\in\mathbb{N}*, \frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n} (u_{k}-u_{k-1})=\frac{1}{n}(u_{n}-u_{0})=\frac{u_{n}}{n}-\frac{u_{0}}{n}

En appliquand le théorème de Césaro la conclusion est directe.

Posté par verbatim74 (invité)re : Who wants another suites ? 19-01-07 à 22:05

Ok niquel merci
Et pour le 3) ta assez de faire la recurrence ?
Une joie de partager cette science...

Posté par verbatim74 (invité)re : Who wants another suites ? 19-01-07 à 22:15

Bon en fait, j'aimerai bien avoir : - la demonstration complete du th. de Cesaro
                                    - la demonstration complete du Lemme de l'escalier

Merci

Posté par
bosonre : Who wants another suites ? 19-01-07 à 22:45

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_C%C3%A9saro_(analyse)

déjà.

Posté par
veledare:Who wants anotner suites 20-01-07 à 08:05

bonjour,
tu as du montrer que0< vnun
doncvn²unvnun²
d'où
un+1-vn+1
=(un+vn)/2-unvn
(un+vn)/2-vn
(un-vn)/2


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